Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

(c) Seja T : V → W uma transformação linear. Se dim ⁡ V = 4 , dim ⁡ W = 6 e dim ⁡ ker ⁡ T = 2 , então dim ⁡ I m T = 4 .

Passo 1

Pelo Teorema Núcleo Imagem:

dim ⁡ I m T + dim ⁡ n u c ( T ) = dim ⁡ d o m ( T )

Temos que o domínio da transformação dada é V , cuja dimensão vale 4 , logo dim ⁡ d o m ( T ) = 4 .

O núcleo é também chamado de kernel, logo dim ⁡ n u c ( T ) = dim ⁡ k e r ⁡ ( T ) = 2 .

Substituindo:

dim ⁡ I m T + 2 = 4

∴ dim ⁡ I m T = 2

Então a dimensão da imagem é 2, e não 4 como dizia na afirmação.

Por isso ela é falsa.

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Resposta

(d) Falsa.

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