Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Seja β = { 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 } uma base de um subespaço U de R 4 e seja W o subespaço gerado por w 1 = ( 1 ,   0 ,   0 ,   1 ) , w 2 = ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 ) e w 3 = ( 1 ,   - 2 ,   0 ,   - 1 ) .

a) Determine uma base para W .

b) Determine uma base para U + W .

c) A soma U + W é direta? Justifique.

Passo 1

a) Para determinar uma base para W nós temos que encontrar um conjunto gerador de W que seja LI.

O conjunto gerador nós já temos ( w 1 , w 2 e w 3 ). Vamos escalonar a matriz cujas linhas são esses elementos

1 0 0 1 0 - 1 0 - 1 1 - 2 0 - 1

L 3 → L 3 - L 1 :

1 0 0 1 0 - 1 0 - 1 0 - 2 0 - 2

L 3 → L 3 2 :

1 0 0 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1

Opa! Pera! De cara a gente já encontrou que temos duas linhas iguais nessa matriz, portanto, w 1 , w 2 e w 3 são L.D.

Vamos ter que descartar qualquer um desses 3 geradores para encontrarmos uma base L.I. para W .

Descartando w 3 vamos ter que uma base para W é

α = { 1 ,   0 ,   0 ,   1 , 0 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 }

Passo 2

b) U + W vai ser o conjunto da união da base de U com a base de W :

U + W = [ 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 ]

Vamos repetir o processo do item anterior para eliminar os vetores que são combinações lineares dos outros:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 - 1 0 - 1

L 3 → L 3 - L 1 :

1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 - 1 1 0 - 1 0 - 1

L 4 → L 4 + L 2 :

1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 1 - 1

L 4 → L 4 + L 3 :

1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0

Opa, a última linha deu nula, isso quer dizer que esse conjunto é L.D.!! Então precisamos tirar um dos geradores para eles ficarem L.I. e termos uma base para U + W .

Tirando o último vetor, vamos ter a base

γ = [ 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ]

Passo 3

c) Não é uma soma direta, pois observe que

dim ⁡ ( U + W ) = 3

dim ⁡ U = dim ⁡ W = 2

Então, pelo teorema do núcleo-imagem, dim ⁡ U ∩ W = 1 , ou seja, U ∩ W ≠ { 0 ,   0 ,   0 ,   0 } .

Resposta

a) α = { 1 ,   0 ,   0 ,   1 , 0 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 }

b) γ = [ 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ]

c) Não, pois U ∩ W ≠ { 0 ,   0 ,   0 ,   0 } .