Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

  1. Existe uma transformação linear T : R 8 → R 5 que é sobrejetiva.
  2. Existe uma transformação linear T : R 8 → R 5 tal que a dimensão do núcleo seja igual à da imagem.

Qual das opções abaixo é a CORRETA?

a   A afirmativa I é falsa e I I é falsa

b   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira

c   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa

d A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Para que essa transformação seja sobrejetiva precisamos que a dimensão da imagem seja igual à do contra domínio:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ C o m D T = dim ⁡ R 5 = 5

Então, pelo T N I :

dim ⁡ I m T ⏟ 5 + dim ⁡ N u c T = dim ⁡ D o m T ⏟ 8

dim ⁡ N u c T = 3

Ou seja, não tem nenhum problema em existir uma transformação linear T : R 8 → R 5 que é sobrejetiva, basta que a dimensão do seu núcleo seja 3 .

Passo 2

Afirmativa I I :

Vamos aplicar o T N I de novo:

dim ⁡ I m T + dim ⁡ N u c T = dim ⁡ D o m T

Mas ele fala que a dimensão do núcleo é igual a da imagem, então:

2 dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 8

dim ⁡ I m T = dim ⁡ N u c T = 4

Novamente, não há problema nenhum nisso! Só teríamos problemas se a equação nos desse dimensões fracionárias ou negativas, ou ainda se a dimensão da imagem ficasse maior que a do contra domínio. Como nenhuma dessas coisas aconteceu, também pode existir uma transformação linear T : R 8 → R 5 tal que a dimensão do núcleo seja igual à da imagem.

Resposta

Letra ( d )