Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Elaboração Própria

Dada a transformação abaixo:

T x , y , z = ( 2 x , 5 y + z , 4 z )

a ache geradores para o núcleo, e calcule sua dimensão;

b verifique se T é injetiva;

c verifique se T é sobrejetiva.

Passo 1

( a ) Para achar o Núcleo, precisamos achar quais vetores do domínio que aplicados em T levam a transformação em zero. Podemos equacioná-la assim:

T x , y , z = 2 x , 5 y + z , 4 z = 0

Igualando coordenada a coordenada:

2 x = 0 x = 0 5 y + z = 0 5 y = 0 y = 0 4 z = 0 z = 0  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto os vetores que geram o núcleo são os vetores que possuem: x = 0 , na primeira coordenada, y = 0 , na segunda coordenada, e z = 0 , na terceira coordenada.

Assim concluímos que:

x , y , z = 0,0 , 0

N u c T = { 0 }

E, portanto, dim N u c T = 0 .

Passo 3

b   Como o Núcleo de T , contém somente o vetor nulo, podemos dizer, pelo teorema que relaciona injetividade e o núcleo, que ela é injetiva.

Passo 4

c Ahh então agora basta calcular os geradores da imagem e sua dimensão e depois... NÃO!!!!!

Até é verdade que podemos fazer isso, se você foi por ai e calculou a dimensão, você está correto! Mas É MUITO MAIS RÁPIDO calcularmos através do teorema núcleo-imagem! Perceba só:

dim N u c T + dim I m T = dim D o m T

Ao olharmos para a fórmula, podemos perceber que a T L “carrega” vetores do R 3 e devolve também no R 3 . Assim:

T : R 3 R 3

E, assim, dim D o m T = 3 .

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula temos:

0 + dim I m T = 3

Repare que esse 3 é a dimensão do DOMÍNIO! Por acaso, nossa transformação possui domínio e contra-domínio iguais! E, por isso, dim C o n t r a D o m T = 3 = d i m ( I m T ) .

Como a dimensão da imagem é igual a do CONTRA-DOMÍNIO, a T L é sobrejetiva.

Resposta

a   x , y , z = 0,0 , 0 e N u c T = { 0 } .

b   Sim.

c   Sim.

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