Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Ver Teoria

Enunciado

Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.

  1. Existe uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que 1 , - 1 é autovetor associado ao autovalor λ = 2 , T 1,2 = 2,3 e T 2,1 = 4 , - 1 .
  2. Existe uma transformação linear injetora T : M 2,2 → R 3 .
  3. Se α é uma base de R 2 , β é uma base de P 1 , T : R 2 → P 1 e S : P 1 → R 2 são tais que

T β α = 1 0 1 2                     S α β = 1 2 1 1

Então L = S ∘ T : R 2 → R 2 é invertível (Obs. L v = S T v ).

Passo 1

Para respondermos este item precisamos relembrar do Teorema do Núcleo e da Imagem. Este teorema nos diz que, dada uma transformação T : V → W , então a dimensão do núcleo ker ⁡ T mais a dimensão da imagem é exatamente a dimensão de V. Isto é:

dim ⁡ ker ⁡ T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ V

Para esta questão, o nosso espaço V é M 2,2 , um espaço de dimensão 4. Portanto,

dim ⁡ ker ⁡ T + dim ⁡ I m T = 4

Para esta mesma transformação T : V → W , a dimensão máxima da imagem é a dimensão de W . Para esta questão, então, a dimensão máxima da imagem é dim ⁡ R 3 = 3 . Portanto a nossa imagem chega, no máximo, a dimensão 3.

Desta forma, a dimensão do nosso núcleo, é, no mínimo:

dim ⁡ ker ⁡ T + 3 = 4

dim ⁡ ker ⁡ T = 1

Percebam que nós não sabemos qual a dimensão do núcleo. Só sabemos que ela é no mínimo igual a 1. Entretanto, esta informação já é suficiente para que nós digamos que a transformação linear T não é injetora, pois, para que a mesma fosse injetora, a dimensão do núcleo deveria ser igual a 0!

Portanto, o enunciado é falso!

Resposta

O enunciado é falso!