Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Elaboração Própria

Foi perguntado a Vininho se a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma transformação linear é injetiva, então ela é sobrejetiva.

E ele respondeu:

“Sim, pois pelo Teorema do Núcleo-Imagem:

dim ⁡ N u c T + d i m ( I m T ) = dim ⁡ D o m T

E como T é injetiva:

dim ⁡ N u c T = 0

Portanto:

d i m ( I m T ) = d i m ⁡ ( D o m T )

Assim, podemos ver que ela é sobrejetiva.”

Qual foi o erro de Vininho? E responda se a proposição é verdadeira ou falsa, e caso seja falsa adicione uma hipótese para que torne a proposição verdadeira.

Passo 1

O erro de Vininho foi não saber a definição de sobrejetividade.

De fato, pelo Teorema Núcleo-Imagem, temos que:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T

A definição de sobrejetividade é que dim ⁡ I m T = dim ⁡ c o n t r a   d o m í n i o E NÃO QUE d i m ⁡ ( I m T ) = d i m ⁡ ( D o m ( T ) ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Além disso, podemos concluir que a proposição é falsa. Para torná-la verdadeira deveríamos ter que, além da transformação ser injetiva, o domínio da transformação deve ser igual ao contra domínio, D o m T = C D o m ( T ) . Ficaria assim:

Se uma transformação possui o domínio igual ao contra domínio e é injetiva, então ela é sobrejetiva.

Resposta

O erro de Vininho foi não saber a definição de sobrejetividade.

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