Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 129 – Prob 4.9

Explique em cada caso porque não existe uma T L :

a   T : R 4 → R 2 cujo núcleo seja a origem;

b   T : R 4 → R 2 que seja injetiva;

c   T : R 7 → R 6 com dim ⁡ N u c T = dim ⁡ I m T ;

d   T : R 4 → R 3 com N u c T = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 e I m T = 1,1 , 2 , 2,2 , 4

Passo 1

Pra resolvermos esse exercício temos que ter duas coisas em mente:

A primeira é o TNI:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ d o m í n i o

A segunda é que o núcleo e a imagem têm suas dimensões restringidas pelo espaço em que estão contidos. Como assim?

Bom, o núcleo está contido no domínio, logo, sua dimensão será, no máximo, a do domínio.

A imagem, por sua vez, está contida no contra domínio, portanto, sua dimensão será, no máximo, a do contra domínio.

Dito isso, podemos começar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a Pelo enunciado temos que:

N u c T = 0

Logo,

dim ⁡ N u c T = 0

Aplicando isso no TNI:

dim ⁡ N u c T ⏟ 0 + dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 4

dim ⁡ I m T = 4

Opa, temos um problema ai! A imagem de T está contida no R 2 que é o contra domínio. Dessa forma, sua dimensão deve ser no máximo 2 e, portanto, tal transformação não pode existir!

Passo 3

b Se T é injetiva, então:

dim ⁡ N u c T = 0

Logo, pelo TNI:

dim ⁡ N u c T ⏟ 0 + dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 4

dim ⁡ I m T = 4

Novamente temos uma imagem de dimensão 4 contida em um espaço de dimensão 2 , o que não é possível!

Passo 4

c Agora temos que dim ⁡ N u c T = dim ⁡ I m T .   Aplicando isso no TNI:

dim ⁡ N u c T ⏟ dim ⁡ I m T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 7

2 dim ⁡ I m T = 7

dim ⁡ I m T = 3,5

Bom, claramente isso é impossível né. Se você conseguir pensar em um espaço de dimensão 3,5 me conta por favor haha. Última letra gora.

Passo 5

d Nesse caso temos:

N u c T = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0

E também que:

I m T = 1,1 , 2 , 2,2 , 4

A dimensão do núcleo claramente é 2 . No entanto, repare que os vetores geradores da imagem são múltiplos um do outro! Logo, a dimensão da imagem é 1 ! Substituindo isso no TNI:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 4

2 + 1 = 4

3 = 4

Logo, chegamos à conclusão que tal T L não existe.

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