Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2016.1, Questão 2

Considere a transformação Equation que associa:

Equation

Equation Determine se a transformação é sobrejetora. Justifique sua resposta.

Equation Determine se a transformação é injetora. Justifique sua resposta.

Equation De termine se a transformação é inversível. Caso positivo, determine sua inversa. Justifique sua resposta:

Passo 1

Equation A imagem da transformação é dada por:

Equation

Como estes vetores geradores são todos Equation , a imagem de Equation tem dimensão Equation . Como o contradomínio de Equation é Equation que também possui dimensão Equation , temos que:

Equation

Logo, Equation é sobrejetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Como temos:

Equation

Pelo Equation , a matriz ser sobrejetora (provado em Equation ) implica em ela ser injetora.

Passo 3

Equation Novamente, como temos

Equation

a matriz ser injetora implica diretamente em ela ser inversível! Resta agora determinarmos a inversa!

Seja Equation a inversa de Equation , queremos que:

Equation

Tomando uma matriz Equation genérica Equation e igualando a Equation , temos:

Equation

Fazendo Equation :

Equation

Equation

Fazendo Equation :

Equation

Equation

Logo,

Equation

Equation

Resposta

Equation Sim.

Equation Sim.

Equation Sim. Equation .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas