Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, PF - 2018.1, Questão 2ab

Considere a transformação linear Equation dada por:

Equation

a) Determine os valores de a para os quais Equation injetora.

b) Para Equation Equation sobrejetora? Equation é bijetora? Justifique.

Passo 1

Para que Equation seja injetora, necessariamente o Equation . Então precisamos calculá-lo, vamos nessa?

Equation

Ou seja,

Equation

Substituindo (IV) em (II) e (II) em (I), teremos:

Equation

Olhando agora para a equação (I), temos que Equation , ou seja, Equation

Isso significa que só teremos Equation igual a zero, caso Equation . É parecido com a ideia que vimos lá no ensino médio, na resolução de equações do segundo grau onde “c=0”

Sendo assim, a solução do nosso problema, depende de Equation Somente assim teremos Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora ao item b), se Equation , então Equation , pelo que vimos no Passo 1.

Podemos então aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem:

Equation Equation

Equation

Presta atenção no seguinte: Equation está contido em Equation e Equation .

Sendo assim, Equation não é sobrejetora e consequentemente, também não é bijetora

Resposta

a)Somente para Equation

b) Equation não é sobrejetora e consequentemente, também não é bijetora

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