Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Elaboração Própria

Dada a transformação abaixo:

Equation

Equation ache geradores para o núcleo, e calcule sua dimensão;

Equation verifique se Equation é injetiva;

Equation verifique se Equation é sobrejetiva.

Passo 1

Equation Para achar o Núcleo, precisamos achar quais vetores do domínio que aplicados em Equation levam a transformação em zero. Podemos equacioná-la assim:

Equation

Igualando coordenada a coordenada:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto os vetores que geram o núcleo são os vetores que possuem: Equation , na primeira coordenada, Equation , na segunda coordenada, e Equation , na terceira coordenada.

Assim concluímos que:

Equation

Equation

E, portanto, Equation .

Passo 3

Equation Como o Núcleo de Equation , contém somente o vetor nulo, podemos dizer, pelo teorema que relaciona injetividade e o núcleo, que ela é injetiva.

Passo 4

Equation Ahh então agora basta calcular os geradores da imagem e sua dimensão e depois... NÃO!!!!!

Até é verdade que podemos fazer isso, se você foi por ai e calculou a dimensão, você está correto! Mas É MUITO MAIS RÁPIDO calcularmos através do teorema núcleo-imagem! Perceba só:

Equation

Ao olharmos para a fórmula, podemos perceber que a Equation “carrega” vetores do Equation e devolve também no Equation . Assim:

Equation

E, assim, Equation .

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula temos:

Equation

Repare que esse 3 é a dimensão do DOMÍNIO! Por acaso, nossa transformação possui domínio e contra-domínio iguais! E, por isso, Equation .

Como a dimensão da imagem é igual a do CONTRA-DOMÍNIO, a Equation é sobrejetiva.

Resposta

Equation e Equation .

Equation Sim.

Equation Sim.

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