Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 129 – Prob 4.9

Explique em cada caso porque não existe uma Equation :

Equation cujo núcleo seja a origem;

Equation que seja injetiva;

Equation com Equation ;

Equation com Equation e Equation

Passo 1

Pra resolvermos esse exercício temos que ter duas coisas em mente:

A primeira é o TNI:

Equation

A segunda é que o núcleo e a imagem têm suas dimensões restringidas pelo espaço em que estão contidos. Como assim?

Bom, o núcleo está contido no domínio, logo, sua dimensão será, no máximo, a do domínio.

A imagem, por sua vez, está contida no contra domínio, portanto, sua dimensão será, no máximo, a do contra domínio.

Dito isso, podemos começar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Pelo enunciado temos que:

Equation

Logo,

Equation

Aplicando isso no TNI:

Equation

Equation

Opa, temos um problema ai! A imagem de Equation está contida no Equation que é o contra domínio. Dessa forma, sua dimensão deve ser no máximo Equation e, portanto, tal transformação não pode existir!

Passo 3

Equation Se Equation é injetiva, então:

Equation

Logo, pelo TNI:

Equation

Equation

Novamente temos uma imagem de dimensão Equation contida em um espaço de dimensão Equation , o que não é possível!

Passo 4

Equation Agora temos que Equation Aplicando isso no TNI:

Equation

Equation

Equation

Bom, claramente isso é impossível né. Se você conseguir pensar em um espaço de dimensão Equation me conta por favor haha. Última letra gora.

Passo 5

Equation Nesse caso temos:

Equation

E também que:

Equation

A dimensão do núcleo claramente é Equation . No entanto, repare que os vetores geradores da imagem são múltiplos um do outro! Logo, a dimensão da imagem é Equation ! Substituindo isso no TNI:

Equation

Equation

Equation

Logo, chegamos à conclusão que tal Equation não existe.

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