Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2017.2, Questão 2a

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique:

a) Existe transformação linear Equation cujo núcleo é dado por Equation

Passo 1

Bom, o espaço que ele ta me falando é o conjunto de vetores do Equation , Equation em que Equation . Posso escrever esse vetor, então, dessa forma:

Equation

Como temos 2 variáveis livres, chego à conclusão que esse espaço tem dimensão 2! Só pra ficar mais claro, vou achar a base dele:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, dimensão do núcleo nos lembra uma coisinha né?! Teorema Núcleo Imagem!

Vamos aplicar ele pra ver se descobrimos alguma coisa:

Equation

Equation

Equation

Vamos ver se isso faz sentido, essa transformação é do Equation , assim, o contradomínio tem dimensão 2. A imagem é um subconjunto do contradomínio, por isso, ela não pode ter dimensão maior que a dele!

Assim, essa afirmativa é falsa!

Resposta

Falsa

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