Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

(b) O núcleo Ker(T) de uma transformação linear T : P 4 → R 3 tem dimensão ≥ 2.

Passo 1

A afirmação é verdadeira.

Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem para transformações lineares.

Ele diz que se temos uma transformação

T : U → V

Então:

D i m U = D i m N u c T + D i m ( I m T )

A transformação dada no enunciado é

T : P 4 → R 3

O domínio é P 4 , que tem dimensão 5 (lembra que dimensão é o número de elementos da base, e a base canônica de P 4 é 1 , t , t 2 , t 3 , t 4 ).

Como a imagem mora no contradomínio, que é R 3 , ela tem dimensão menor ou igual a 3.

Então, os valores possíveis para a dimensão da imagem são:

D i m I m T = 3

ou

D i m I m T = 2

ou

D i m I m T = 1

Substituindo cada um desses valores possíveis no teorema:

  • Se D i m I m T = 3 :
  • 5 = D i m N u c T + 3   ⇒   D i m N u c T = 2

  • Se D i m I m T = 2 :
  • 5 = D i m N u c T + 2   ⇒   D i m N u c T = 3

  • Se D i m I m T = 1 :

5 = D i m N u c T + 1   ⇒   D i m N u c T = 4

Então, vemos que as dimensões possíveis para o núcleo são maiores ou iguais a 2.

A afirmação é verdadeira.

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