Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2017.1, Questão 1

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

  1. Seja Equation dada por Equation . Então Equation é linear.
  2. Seja Equation uma transformação linear. Se Equation então Equation não pode ser transformação injetora.
  3. Sejam Equation um espaço vetorial, Equation e Equation bases de Equation . Existe operador Equation linear que é isomorfismo tal que a matriz Equation

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmativa,

Sejam Equation Equation e Equation Equation

Para a transformação ser linear é preciso que:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então bora lá testar isso aí!

Equation

Aplicando a transformação:

Equation

Podemos organizar os elementos e separar em dois vetores dessa forma:

Equation

Assim fica fácil de ver que cada vetor é a transformação de cada polinômio da soma:

Equation

Logo, como queríamos, Equation .

Agora a outra propriedade!

Equation

Aplicando a transformação:

Equation

Como as duas coordenadas do vetor estão sendo multiplicados por Equation , podemos botá-lo em evidência:

Equation

Opa! Isso não é igual a Equation ?? Sim!!

Então, como conseguimos provar as duas propriedades de uma TL, nossa afirmativa é verdadeira!

Passo 3

Agora para letra b vamos lembrar do Teorema do Núcleo-Imagem:

Equation

Se Equation :

Equation

Se Equation for injetora, Equation , então, 0 Equation . O que é impossível não é mesmo? Isso porque a Imagem é um subconjunto do Contra-Domínio, logo sua dimensão deve ser sempre menor ou igual a de Equation !

Assim, a dimensão do núcleo não pode ser zero, ou seja, a TL não pode ser injetiva e dessa forma a afirmativa é verdadeira!

Passo 4

Para a letra c devemos saber que se Equation for um isomorfismo, a matriz Equation deve ser inversível. E como sabemos se uma matriz é inversível?? Calculando o determinante!! Se ele for diferente de zero a matriz possui uma inversa, ou seja, existe uma matriz Equation .

Sendo Equation , Equation .

Assim, a matriz não é inversível e, portanto, não é um isomorfismo, a afirmativa é falsa!

Passo 5

Podemos resolver a letra c de outra forma:

Sabemos que para ser um isomorfismo a matriz deve ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Observando as colunas, vemos que a primeira e a terceira são iguais, logo temos 1 vetor combinação linear fazendo com que a Equation seja igual a 2. Enquanto a Equation (contra-domínio) pois são vetores do Equation .

Assim, Equation faz com que a matriz não seja sobrejetora e consequentemente, nao seja um isomorfismo.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Falsa

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