Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, 1º EE - 2019.2, Questão Q3

Seja Equation uma base de um subespaço Equation de Equation e seja Equation o subespaço gerado por Equation , Equation e Equation .

a) Determine uma base para Equation .

b) Determine uma base para Equation .

c) A soma Equation é direta? Justifique.

Passo 1

a) Para determinar uma base para Equation nós temos que encontrar um conjunto gerador de Equation que seja LI.

O conjunto gerador nós já temos ( Equation , Equation e Equation ). Vamos escalonar a matriz cujas linhas são esses elementos

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Opa! Pera! De cara a gente já encontrou que temos duas linhas iguais nessa matriz, portanto, Equation , Equation e Equation são L.D.

Vamos ter que descartar qualquer um desses 3 geradores para encontrarmos uma base L.I. para Equation .

Descartando Equation vamos ter que uma base para Equation é

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Equation vai ser o conjunto da união da base de Equation com a base de Equation :

Equation

Vamos repetir o processo do item anterior para eliminar os vetores que são combinações lineares dos outros:

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Opa, a última linha deu nula, isso quer dizer que esse conjunto é L.D.!! Então precisamos tirar um dos geradores para eles ficarem L.I. e termos uma base para Equation .

Tirando o último vetor, vamos ter a base

Equation

Passo 3

c) Não é uma soma direta, pois observe que

Equation

Equation

Então, pelo teorema do núcleo-imagem, Equation , ou seja, Equation .

Resposta

a) Equation

b) Equation

c) Não, pois Equation .

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