Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2013.1, Questão 06

Seja Equation é polinômio de grau Equation ,

e seja Equation a transformação linear:

Equation

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

Equation Equation não é linear

Equation O núcleo de Equation tem dimensão Equation

Equation A imagem de Equation tem dimensão Equation

Equation A imagem de Equation tem dimensão Equation

Passo 1

Primeiro eu vou logo verificar se Equation é de fato linear ou não.

Para ser linear, a transformação das combinações lineares tem que ser igual à combinação linear das transformações. Tipo:

Equation

Será que isso acontece? (Não se esqueça que nesse caso os vetores são polinômios.)

Vamos ver. Sejam Equation , Equation polinômios distintos:

Equation

Aí dá pra fazer a distributiva:

Equation

Se eu botar agora o Equation e o Equation em evidência:

Equation

Agora colocando o Equation e o Equation em evidência:

Equation

E isso é exatamente:

Equation

Então Equation é linear (o que já era meio óbvio, porque ele disse que era linear no enunciado ¬¬’).

Mas por desencargo de consciência, a letra Equation foi descartada. =D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar o núcleo e a imagem da Equation .

A gente já sabe que Equation , já que Equation tem quatro vetores na base canônica, Equation .

Também sabemos que Equation , pois a base é Equation , que tem três vetores.

  • Qual o núcleo de Equation ?

É só resolver o sistema homogêneo Equation

Equation

Equation

Agora é só igual os termos que tem o mesmo grau:

Equation

Equation

Equation

Equation

Das quatro equações nós tiramos que Equation , então o núcleo é o vetor nulo (ou o polinômio identicamente nulo, como preferir.

Assim Equation , e não Equation . Essa é falsa.

Passo 3

Para decidir entre Equation e Equation : qual é a dimensão da imagem de Equation ?

Bom, a gente sabe que o domínio da transformação é Equation , e também que Equation .

Então, usando o Equation :

Equation

Equation

Equation

Então a dimensão da imagem é Equation .

Resposta

Letra Equation

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