Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2013.1, Questão 04

Seja Equation uma transformação linear de Equation em Equation .

Se Equation , assinale a alternativa VERDADEIRA:

Equation nunca será injetora

Equation sempre será sobrejetora

Equation sempre será bijetora

Equation nunca será sobrejetora

Passo 1

Tá lembrado quando que uma Equation é injetora ou sobrejetora?

A Equation é injetora se seu núcleo for igual a Equation , é sobrejetora se Equation é igual à dimensão do contradomínio.

Primeiro passo: “será que ela é sobrejetora?

Olha só, para isso teríamos que ter Equation .

Aplicando no Equation :

Equation

Equation

Equation

A questão diz que Equation , então Equation é um inteiro positivo, e nada o impede de ser a dimensão de Equation . Então é possível sim que ela seja sobrejetora.

Mas isso não quer dizer que ela vai ser sempre sobrejetora, pois pode acontecer da dimensão do núcleo ser um valor diferente de Equation .

Só nisso já dá pra descartar a Equation e a Equation .

Dá pra descartar a Equation também, pois uma Equation ser sempre bijetora significa que ela é sempre injetora e sempre sobrejetora, o que é mentira.

Mas vou analisar a Equation só pra ter certeza! =D

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Passo 2

Segundo passo: “será que ela é injetora?

Bom, pra isso Equation , e consequentemente Equation .

Será que pode isso?

Aplicando o Equation :

Equation

Equation

Equation

A conclusão que chegamos é que a imagem de Equation tem dimensão Equation .

Mas pô, a imagem não tá contida no contradomínio?

Então a dimensão dela precisa ser menor ou igual à do contradomínio:

Equation

Equation

Mas isso não é verdade, o enunciado mesmo disse que Equation .

Então, de fato, ela nunca pode ser injetora.

Resposta

Letra Equation

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