Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2016.1, Questão 11

Seja Equation uma transformação linear tal que Equation e Equation . Todas as afirmativas abaixo são necessariamente verdadeiras, à exceção de:

Equation

Equation não é injetiva.

Equation

Equation é sobrejetiva.

Passo 1

Vamos letra por letra:

Equation Equation

Essa vamos fazer tirando vantagem da linearidade do produto interno! Primeiro escrevemos Equation em função dos vetores Equation e Equation já que conhecemos o valor da Equation aplicada neles.

Equation

Equation

Pela Equation temos que:

Equation

Substituindo na Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora substituímos de novo na Equation :

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sendo assim, temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Chegamos no resultado da alternativa. Então essa é verdadeira! Mas queremos a falsa então vamos para a próxima letra.

Passo 3

Equation Bom, se Equation não é injetiva, então a dimensão do seu núcleo é sempre maior que Equation . Se analisarmos essa nossa transformação pelo Equation , teremos que:

Equation

Mas sabemos que o domínio de Equation é o Equation . Além disso, sabemos que a imagem está no contradomínio que é o Equation . Isso quer dizer que a dimensão da imagem está limitada a no máximo Equation ! Se jogarmos isso na nossa equação:

Equation

Equation

Ou seja, para o valor máximo da dimensão da nossa imagem, nosso núcleo tem dimensão Equation . Se diminuirmos a dimensão da imagem a dimensão do núcleo só aumentará! Então é impossível termos o núcleo com dimensão Equation e ela realmente não é injetiva.

Passo 4

Equation

Novamente, vamos usar a linearidade da transformação, mas dessa vez vamos usar nos resultados! Assim oh:

Equation

Equation

Isolando Equation em Equation :

Equation

Substituindo em Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo de novo em Equation :

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Logos, temos que:

Equation

Equation

Equation

Equation

Claramente não bate, então essa é a falsa que estávamos procurando! Mesmo tendo achado a resposta vamos dar uma olhada na última alternativa,

Passo 6

Equation Se Equation é sobrejetiva, então a dimensão da sua imagem é igual à dimensão do seu contradomínio, que no caso é Equation . Ta, mas e como descobrimos a dimensão da imagem? Bom, o enunciado já deu pra gente de bandeja! Repare que as transformações que ele deu:

Equation

Equation

Geram dois vetores diferentes no Equation ! Se a transformação é capaz de gerar dois vetores Equation do Equation então ela é capaz de gerar o Equation inteiro! Então essa é verdadeira como esperávamos.

Resposta

Letra Equation

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