Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Seja P n = p     p é polinômio de grau ≤ n } ,

e seja T a transformação linear:

T : P 2 ↦ P 3   p ↦ x - 1 p

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) T não é linear

( b ) O núcleo de T tem dimensão 3

( c ) A imagem de T tem dimensão 1

( d ) A imagem de T tem dimensão 3

Passo 1

Primeiro eu vou logo verificar se T é de fato linear ou não.

Para ser linear, a transformação das combinações lineares tem que ser igual à combinação linear das transformações. Tipo:

T a u → + b v → = a T u → + b T ( v → )

Será que isso acontece? (Não se esqueça que nesse caso os vetores são polinômios.)

Vamos ver. Sejam p 1 , p 2 polinômios distintos:

T a p 1 + b p 2 = ( x - 1 ) ( a p 1 + b p 2 )

Aí dá pra fazer a distributiva:

T a p 1 + b p 2 = x a p 1 + b p 2 x - a p 1 - b p 2

Se eu botar agora o a e o b em evidência:

T a p 1 + b p 2 = a x p 1 - p 1 + b ( x p 2 - p 2 )

Agora colocando o p 1 e o p 2 em evidência:

T a p 1 + b p 2 = a   x - 1 p 1 + b   x - 1 p 2

E isso é exatamente:

T a p 1 + b p 2 = a   T p 1 + b   T ( p 2 )

Então T é linear (o que já era meio óbvio, porque ele disse que era linear no enunciado ¬¬’).

Mas por desencargo de consciência, a letra ( a ) foi descartada. =D

Passo 2

Agora vamos analisar o núcleo e a imagem da T L .

A gente já sabe que dim ⁡ P 3 = 4 , já que P 3 tem quatro vetores na base canônica, { 1 ,   x ,   x 2 ,   x 3 } .

Também sabemos que dim ⁡ P 2 = 3 , pois a base é { 1 ,   x ,   x 2 } , que tem três vetores.

  • Qual o núcleo de T ?

É só resolver o sistema homogêneo x - 1 p = 0 → x - 1 a x 2 + b x + c = 0

a x 3 + b x 2 + c x - a x 2 - b x - c = 0

a x 3 + b - a x 2 + c - b x + - c 1 = 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0

Agora é só igual os termos que tem o mesmo grau:

a = 0

b - a = 0 → b = a → b = 0

c - b = 0 → c - 0 = 0 → c = 0

- c = 0 → c = 0

Das quatro equações nós tiramos que a = b = c = 0 , então o núcleo é o vetor nulo (ou o polinômio identicamente nulo, como preferir.

Assim dim ⁡ N u c ( T ) = 0 , e não 3 . Essa é falsa.

Passo 3

Para decidir entre ( c ) e ( d ) : qual é a dimensão da imagem de T ?

Bom, a gente sabe que o domínio da transformação é P 2 , e também que dim ⁡ P 2 = 3 .

Então, usando o T N I :

dim ⁡ N u c ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = 3

0 + dim ⁡ I m ( T ) = 3

dim ⁡ I m T = 3

Então a dimensão da imagem é 3 .

Resposta

Letra ( d )