Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Seja T uma transformação linear de R n em R k .

Se k < n , assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   T nunca será injetora

b   T sempre será sobrejetora

c   T sempre será bijetora

d   T nunca será sobrejetora

Passo 1

Tá lembrado quando que uma T L é injetora ou sobrejetora?

A T L é injetora se seu núcleo for igual a 0 → , é sobrejetora se dim ⁡ I m T é igual à dimensão do contradomínio.

Primeiro passo: “será que ela é sobrejetora?

Olha só, para isso teríamos que ter dim ⁡ I m T = k .

Aplicando no T N I :

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ R n

dim ⁡ N u c   T + k = n

dim ⁡ N u c   T = n - k

A questão diz que k < n , então n - k é um inteiro positivo, e nada o impede de ser a dimensão de N u c   T . Então é possível sim que ela seja sobrejetora.

Mas isso não quer dizer que ela vai ser sempre sobrejetora, pois pode acontecer da dimensão do núcleo ser um valor diferente de n - k .

Só nisso já dá pra descartar a ( b ) e a ( d ) .

Dá pra descartar a ( c ) também, pois uma T L ser sempre bijetora significa que ela é sempre injetora e sempre sobrejetora, o que é mentira.

Mas vou analisar a ( a ) só pra ter certeza! =D

Passo 2

Segundo passo: “será que ela é injetora?

Bom, pra isso N u c T = 0 → , e consequentemente dim ⁡ N u c T = 0 .

Será que pode isso?

Aplicando o T N I :

dim ⁡ N u c ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ R n

0 + dim ⁡ I m T = n

dim ⁡ I m ( T ) = n

A conclusão que chegamos é que a imagem de T tem dimensão n .

Mas pô, a imagem não tá contida no contradomínio?

Então a dimensão dela precisa ser menor ou igual à do contradomínio:

dim ⁡ I m ( T ) ≤ k

n ≤ k

Mas isso não é verdade, o enunciado mesmo disse que k ≤ n .

Então, de fato, ela nunca pode ser injetora.

Resposta

Letra ( a )