Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Sejam v 1 , v 2 , v 3 um subconjunto L I de R 4 , e T : R 4 → R k uma transformação linear. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se T v 1 , T v 2 , T v 3 é L I então podemos concluir que T é injetiva.
  2. Se T v 1 , T v 2 , T v 3 é L D então podemos concluir que a dimensão da imagem de T é no máximo 2 .

a   I é falsa e I I é verdadeira

b   Ambas são verdadeiras

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   Ambas são falsas

Passo 1

Afirmativa I :

O que precisamos para que T seja injetiva? Precisamos que a dimensão do núcleo seja igual a zero! Logo, pelo T N I :

dim ⁡ N u c T ⏟ 0 + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T ⏟ R 4

dim ⁡ I m T = 4

Então chegamos à conclusão de que para a transformação ser injetiva, a dimensão da sua imagem precisa ser igual a 4 ! Essa informação I nos diz que T v 1 , T v 2 , T v 3 é L I , ou seja, já sabemos que essa transformação gera um espaço de pelo menos três dimensões.

Mas não é isso que a gente quer né? Podemos determinar um vetor v 4 tal que

  v 1 , v 2 , v 3 , v 4

é L I . Nesse caso, teríamos uma base para o domínio da transformação. Para que a transformação seja injetiva temos que garantir que esse vetor v 4 é tal que

T v 1 , T v 2 , T v 3 , T v 4

é L I . Como não podemos garantir isso, essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Se T v 1 , T v 2 , T v 3 é L D então a dimensão do espaço gerado por T v 1 , T v 2 , T v 3 é no máximo 2 . Mas não se esqueça de que nosso domínio tem 4 dimensões!! Então precisaríamos conhecer T v 4 , tal que

v 1 , v 2 , v 3 , v 4

formassem uma base para o R 4 para poder dizer algo sobre a dimensão da imagem! Se T v 4 , fosse L I nossa dimensão seria no máximo 3 . Se fosse L D , ela seria no máximo 2 como consta na afirmação. Então essa também é falsa.

Resposta

Letra d