Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2015.1, Questão 09

Sejam Equation um subconjunto Equation de Equation , e Equation uma transformação linear. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se Equation é Equation então podemos concluir que Equation é injetiva.
  2. Se Equation é Equation então podemos concluir que a dimensão da imagem de Equation é no máximo Equation .

Equation é falsa e Equation é verdadeira

Equation Ambas são verdadeiras

Equation é verdadeira e Equation é falsa

Equation Ambas são falsas

Passo 1

Afirmativa Equation :

O que precisamos para que Equation seja injetiva? Precisamos que a dimensão do núcleo seja igual a zero! Logo, pelo Equation :

Equation

Equation

Então chegamos à conclusão de que para a transformação ser injetiva, a dimensão da sua imagem precisa ser igual a Equation ! Essa informação Equation nos diz que Equation é Equation , ou seja, já sabemos que essa transformação gera um espaço de pelo menos três dimensões.

Mas não é isso que a gente quer né? Podemos determinar um vetor Equation tal que

Equation

é Equation . Nesse caso, teríamos uma base para o domínio da transformação. Para que a transformação seja injetiva temos que garantir que esse vetor Equation é tal que

Equation

é Equation . Como não podemos garantir isso, essa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa Equation :

Se Equation é Equation então a dimensão do espaço gerado por Equation é no máximo Equation . Mas não se esqueça de que nosso domínio tem Equation dimensões!! Então precisaríamos conhecer Equation , tal que

Equation

formassem uma base para o Equation para poder dizer algo sobre a dimensão da imagem! Se Equation , fosse Equation nossa dimensão seria no máximo Equation . Se fosse Equation , ela seria no máximo Equation como consta na afirmação. Então essa também é falsa.

Resposta

Letra Equation

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas