Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2015.1, Questão 2abc

Sejam Equation uma transformação linear, Equation uma base de Equation e Equation uma base de Equation . Suponha que:

Equation

Equation Enuncie o teorema do Núcleo-Imagem.

Equation Usando o teorema do Núcleo-Imagem, determine se Equation é injetiva.

Equation Exiba uma base para o núcleo e uma base para a imagem de Equation .

Observe que os geradores serão escritos em função dos vetores das bases Equation e Equation

Passo 1

Letra Equation

Considerando a Equation do enunciado:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra Equation

Bom para Equation ser injetiva, seu núcleo deve conter somente o vetor nulo, e portanto sua dimensão deverá ser zero. Assim, vamos estudar os casos:

Podemos perceber que Equation , e que pelo teorema do Núcleo-Imagem percebemos que a dimensão da Imagem de Equation é no máximo a dimensão do contra-domínio (que possui dimensão Equation ). Assim, na melhor da hipóteses:

Equation

Equation

Equation

Logo, podemos perceber que é impossível ela ser injetiva.

Passo 3

Letra Equation

Calculando uma base para o núcleo:

Equation

Sendo Equation

Equation

Equation

Assim, achamos uma relação para as coordenadas dos vetores do núcleo na base Equation . Mas isso ainda não são os vetores do núcleo!! Sabemos que:

Equation

Assim, podemos dizer que:

Equation

Equation

Logo como Equation , uma possível base pro núcleo é:

Equation

Passo 4

Calculando uma base para a imagem:

Bom, para calcular uma base para a imagem podemos aplicar a Equation em cada um dos vetores da base do nosso domínio. Entretanto, com não temos a expressão de Equation não podemos fazer isso, mas temos a matriz que representa ela indo da base Equation para a Equation . Então, basta que saibamos as coordenadas dos elementos da base de Equation escritos na base Equation , ou seja:

Equation , Equation , Equation , Equation

Para Equation :

Equation

Equation

Equation

Para Equation :

Equation

Equation

Equation

Para Equation :

Equation

Equation

Equation

Para Equation :

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Agora temos que verificar se o conjunto:

Equation

É Equation . Podemos perceber que temos Equation vetores para o nossa base da imagem, quando que a dimensão máxima dela seria Equation , e portanto sabemos que nosso conjunto é Equation

Olhando para os três primeiros vetores, podemos ver alguma relação entre eles:

Equation

Repare que apenas, quis cancelar o Equation , pois agora é só “ajeitar”:

Equation

Ou seja, podemos descartar o vetor Equation , pois ele pode ser formado por uma Equation dos outros dois vetores. E assim uma possível base é:

Equation

Resposta

Equation

Equation Não é injetiva

Equation Equation Possíveis bases para o núcleo e a imagem respectivamente:

Equation

Equation

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