Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P2 - 2014.2, Questão 3

Uma transformação linear Equation é chamada de projeção quando Equation , e simetria quando Equation (Onde Equation é a transformação identidade)

Equation Determine se as transformações abaixo são projeções ou simetrias:

Equation dada por Equation

Equation dada por Equation

Equation Seja Equation uma projeção. Mostre que a transformação linear Equation dada por Equation é uma simetria.

Equation Mostre que se Equation é uma projeção, então Equation Equation .

Equation Seja Equation uma projeção. Mostre que se Equation , então Equation .

Equation Supondo que Equation tenha dimensão finita, mostre que para toda projeção Equation temos Equation

Dica: Observe que todo Equation pode ser escrito como Equation .

Passo 1

Letra Equation

Bom, o que temos que fazer nessa questão é ver quais delas satisfazem as condições do enunciado. Vamos começar por Equation :

Equation

Portanto, Equation é simetria, pois satisfaz Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para Equation , vamos ver o que dá:

Equation

Logo, Equation satisfaz Equation e é de projeção.

Passo 3

Letra Equation

Assim, vamos equacionar nossa tese. Queremos ver se Equation é uma simetria, então Equation .

Então temos que provar que:

Equation

Desenvolvendo Equation , vamos abrir esta expressão, já que Equation é linear:

Equation

Agora lembre que Equation , então:

Equation

Mas como Equation é uma projeção, então Equation . Assim ficamos com:

Equation

E, assim, como Equation Equation é uma simetria.

Passo 4

Letra Equation

Queremos verificar que:

Equation

Já que Equation .

Desenvolvendo:

Equation

Mas como Equation é uma projeção por hipótese, então Equation , e assim:

Equation

E, portanto Equation .

Passo 5

Letra Equation

Queremos saber se Equation , então vamos aplicar nossas hipóteses para ver se isso é verdade.

Se Equation , então existe um Equation tal que Equation . Ou seja, tem um cara lá no domínio que gera Equation .

Equation

Como Equation é uma projeção, então Equation

E assim:

Equation

Equation

Mas como Equation , concluímos que Equation .

Passo 6

Letra Equation

Caramba como farei isso?? Bom existe um jeito mais fácil que a dica. Se repararmos na dica podemos perceber que:

Equation

E pela letra Equation sabemos que Equation . E podemos perceber também que Equation por definição. Então perceba que um elemento genérico pode ser formado por um cara do núcleo somado com o da imagem, e assim podemos perceber que:

Equation

Passo 7

MASSS AINDA NÃO ACABOU! FALTA PROVAR QUE A INTERSEÇÃO É ZERO! Para isso vamos usar o Teorema Núcleo-Imagem.

Equation

Como a soma dos dois dá o espaço Equation e a soma das dimensões também, então a soma é direta.

Resposta

Equation Equation Equation simetria; Equation : projeção.

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