Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

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Enunciado

Uma transformação linear T : E ⟶ E é chamada de projeção quando T ∘ T = T , e simetria quando T ∘ T = I d (Onde I d é a transformação identidade)

( a ) Determine se as transformações abaixo são projeções ou simetrias:

T 1 : R 2 ⟶ R 2 dada por T 1 x , y = ( y , x )

T 2 : P 2 ⟶ P 2 dada por T 2 a + b . X + c . X 2 = a + c . X 2

( b ) Seja P : E ⟶ E uma projeção. Mostre que a transformação linear S : E ⟶ E dada por S v = 2 P v - v é uma simetria.

( c ) Mostre que se P : E ⟶ E é uma projeção, então ∀ v ∈ E , v - P v ∈ N u c ( P ) .

( d ) Seja P : E ⟶ E uma projeção. Mostre que se v ∈ I m ( P ) , então v = P ( v ) .

( e ) Supondo que E tenha dimensão finita, mostre que para toda projeção P temos E = N u c P ⊕ I m ( P )

Dica: Observe que todo v ∈ E pode ser escrito como v = v - P v + P ( v ) .

Passo 1

Letra ( a )

Bom, o que temos que fazer nessa questão é ver quais delas satisfazem as condições do enunciado. Vamos começar por T 1 :

T 1 T 1 x , y = T 1 y , x = ( x , y )

Portanto, T 1 é simetria, pois satisfaz T 1 ∘ T 1 = I d .

Passo 2

Agora para T 2 , vamos ver o que dá:

T 2 T 2 a + b . X + c . X 2 = T 2 a + c . X 2 = a + c . X 2

Logo, T 2 satisfaz T 2 ∘ T 2 = T 2 e é de projeção.

Passo 3

Letra ( b )

Assim, vamos equacionar nossa tese. Queremos ver se S ( v ) é uma simetria, então S S v = I d ( v ) .

Então temos que provar que:

S S v = S 2 P v - v = I d ( v )

Desenvolvendo S 2 P v - v , vamos abrir esta expressão, já que S é linear:

S 2 P v - S v = 2 S ( P v ) - S v

Agora lembre que S v = 2 P v - v , então:

2 S P v - S v = 2 2 P P v - P v - ( 2 P v - v )

Mas como P é uma projeção, então P P v = P ( v ) . Assim ficamos com:

= 2 2 P v - P v - 2 P v + v = 2 P v - 2 P v + v = v

E, assim, como S S v = I d v = v , S é uma simetria.

Passo 4

Letra ( c )

Queremos verificar que:

P v - P v = 0

Já que v - P v ∈ N u c ( P ) .

Desenvolvendo:

P v - P v = P v - P ( P v )

Mas como P é uma projeção por hipótese, então P P v = P ( v ) , e assim:

P v - P v = 0

E, portanto v - P v ∈ N u c ( P ) .

Passo 5

Letra ( d )

Queremos saber se P v = v , então vamos aplicar nossas hipóteses para ver se isso é verdade.

Se v ∈ I m ( P ) , então existe um w ∈ E tal que P w = v . Ou seja, tem um cara lá no domínio que gera v .

P w = v ⇒ P P w = P ( v )

Como P é uma projeção, então P P w = P ( w )

E assim:

P P w = P v ⇒

P w = P ( v )

Mas como P w = v , concluímos que P v = v .

Passo 6

Letra ( e )

Caramba como farei isso?? Bom existe um jeito mais fácil que a dica. Se repararmos na dica podemos perceber que:

v = v - P v + P ( v )

E pela letra ( c ) sabemos que v - P v ∈ N u c ( P ) . E podemos perceber também que P v ∈ I m ( P ) por definição. Então perceba que um elemento genérico pode ser formado por um cara do núcleo somado com o da imagem, e assim podemos perceber que:

E = N u c P + I m ( P )

Passo 7

MASSS AINDA NÃO ACABOU! FALTA PROVAR QUE A INTERSEÇÃO É ZERO! Para isso vamos usar o Teorema Núcleo-Imagem.

dim ⁡ N u c P + dim ⁡ I m P = dim ⁡ E

Como a soma dos dois dá o espaço E e a soma das dimensões também, então a soma é direta.

Resposta

( a ) T 1 : simetria; T 2 : projeção.