Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

UFRJ - Cálculo 4 - P1 2014.1 - 3ª

Calcular a transformada de Laplace da função f definida por

f t = 0 ,                   s e   0 ≤ t < π / 2 e t sen ⁡ t ,     s e   t ≥ π / 2

Passo 1

Precisamos de um esboço para escrevermos f ( t ) como função degrau. O gráfico dessa função é um negócio assim:

Você sabia disso? Pois é, eu também não, acabei de descobrir : ) A verdade é que não precisamos saber como é a função e t sen ⁡ t , só precisamos saber onde ela começa, para podermos raciocinar.

Então, vamos usar um desenho qualquer para essa função, ok? Pois não fazemos ideia de como ela seja:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos escrever f ( t ) como função degrau. Como temos uma função que vale 0 até t = π / 2 e passa a valer e t s e n   t a partir de t = π / 2 , podemos escrever o seguinte:

f t = u π 2 t [ e t sen ⁡ t ]

Isso quer dizer que:

p a r a   t < π / 2       f ( t ) = 0 × e t sen ⁡ t = 0 p a r a   t ≥ π / 2     f t = 1 e t sen ⁡ t = e t sen ⁡ t  

Pronto, isso que queremos!

Passo 3

Agora vamos calcular L f t ( s ) , como o problema pediu. Temos o seguinte:

L u c g t - c s = e - c s L g t ( s )

Aplicando para o nosso problema:

L [ u π / 2 e t sen ⁡ t ⏟ g ( t - π / 2 ) ] s = e - π s / 2 L g t ( s )

Precisamos, então, achar g ( t ) . Temos o seguinte:

g t - π / 2 = e t sen ⁡ t

Então, para encontrarmos g ( t ) temos que somar π / 2 onde tem t :

g t = e t + π / 2 sen ⁡ t + π 2

Como:

sen ⁡ t + π 2 = sin ⁡ t cos ⁡ π 2 + sin ⁡ π 2 cos ⁡ t = cos ⁡ ( t )

g t = e t + π / 2 cos ⁡ ( t )

Assim, temos:

L f t s = L [ u π 2 e t sen ⁡ ( t ) ] s = e - π s / 2 L e t + π / 2 cos ⁡ ( t ) ( s )

Passo 4

Precisamos agora resolver essa expressão. Vamos rearrumar isso aqui:

L f t s = e π 2 ( 1 - s ) L e t cos ⁡ ( t ) ( s )

Sabemos do seguinte:

L cos ⁡ t s = s s 2 + 1

Como temos uma exponencial multiplicando o cosseno, essa transformada será deslocada. Vamos usar a seguinte fórmula:

L e c t f t s = L f t ( s - c )

L e t cos ⁡ t s = L cos ⁡ t s - 1 = s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1

Substituindo esse valor, temos:

L f t s = e π 2 ( 1 - s ) s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1

Resposta

L f t s = e π 2 ( 1 - s ) s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1

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