Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 178, exercício 9

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f t = 0 ,                                                 t < π t - π ,             π ≤ t < 2 π 0 ,                                             t ≥ 2 π

Passo 1

Precisamos escrever y ( t ) em função de u c t , para podermos calcular a transformada.

Vamos primeiro desenhar essa função:

Repare que isso é o mesmo que:

A função da figura da esquerda vale zero até t = π e depois tem valor igual à equação da reta, ( t - π ) , então, podemos escrevê-la como u π t [ t - π ] .

A função da direita vale zero até t = 2 π e depois vale ( t - π ) . Então, podemos escrevê-la como u 2 π t [ t - π ] .

Como a função do problema é a diferença entre essas duas, temos:

y t = u π t t - π - u 2 π t [ t - π ]

Precisamos calcular a transformada disso aí agora. Como temos dois u c ’s diferentes, vamos calcular cada transformada separadamente.

L y t s = L u π t - π s - L u 2 π t - π s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Para L u π t - π s
  2. Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

    L [ u π t - π ⏟ f t - π ] ( s ) = e - π s L [ f t ] ( s )

    Sabemos que

    f t - π = t - π

    Para f ( t - π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + π ) , não é? Então vamos somar π onde tem t , olha só:

    f t = t + π - π = t

    Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

    L u π t - π s = e - π s L t ( s )

  3. Para L u 2 π t - π s

Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

L [ u 2 π t - π ⏟ f t - 2 π ] ( s ) = e - 2 π s L [ f t ] ( s )

Sabemos que

f t - 2 π = t - π

Para f ( t - 2 π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + 2 π ) , então vamos fazer isso para os dois lados da equação:

f t = t + 2 π - π = t + π

Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

L u 2 π t - 2 π s = e - 2 π s L t + π ( s )

Nota: Cuidado! As duas funções degrau u π e u 2 π estavam multiplicadas pela mesma função ( t - π ) , mas a f ( t ) que encontramos para cada uma delas era diferente. Isso acontece porque para cada caso chamamos essa função de f ( t - c ) e esse “ c ” não é o mesmo nos dois casos.

Passo 3

Temos, então:

L y t s = e - π s L t ( s ) ⏟ L u π t - π s - e - 2 π s L t + π ( s ) ⏟ L u 2 π t - 2 π s

Agora é só calcular as transformadas!

L t s = 1 s 2

L t + π s = 1 s 2 + π s = 1 + π s s 2

Substituindo esses valores, temos:

L y t s = e - π s s 2 - e - 2 π s 1 + π s s 2

Resposta

e - π s s 2 - e - 2 π s 1 + π s s 2

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