Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

UNICAMP - (Cálculo 3) - P1 2020.1

Considere a função f t de período 2 dada por

f t = t ,     0 ≤ t < 1 0 ,     1 ≤ t < 2

Desenhe o gráfico de f t e calcule a transformada de Laplace f t . Justifique todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.

Passo 1

Fala galera, bora começar! Antes de mais nada, vamos desenhar nossa função. Ela é uma rampa t até o valor 1 e depois zera, e repete esse comportamento de 2 em diante. Vamos ter então:

A questão já da uma dica bacana pra gente: é uma função periódica. Só tem uma propriedade que nos ajuda nesses casos, que é essa aqui:

Portanto, sendo o período 2 , já adiantamos que:

f t = 1 1 - e - 2 s ∫ 0 2 e - s t f t d t

Po galera, mas como:

f t = t ,     0 ≤ t < 1 0 ,     1 ≤ t < 2

Podemos dividir a integral em dois pedaços pra levar em consideração cada uma das leis de formação de f t , de forma a ficar com:

f t = 1 1 - e - 2 s ∫ 0 1 e - s t f t d t + ∫ 1 2 e - s t f t d t

f t = 1 1 - e - 2 s ∫ 0 1 e - s t ∙ t d t + ∫ 1 2 e - s t ∙ 0 d t

f t = 1 1 - e - 2 s ∫ 0 1 t e - s t d t

Show, falta só resolver essa integral. Bora fazer isso no próximo passo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show galera, olha só, em:

∫ 0 1 t e - s t d t

Temos um produto de funções de tipos diferentes! Isso tem cheiro de integração por partes. Então se escolhermos, por exemplo:

u = t → d u = d t

d v = e - s t d t → v = ∫ e - s t d t = - e - s t s

Pela técnica de integração por partes, a integral:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Vai ficar:

∫ 0 1 t e - s t d t = - t e - s t s t = 0 t = 1 - ∫ 0 1 - e - s t s d t

∫ 0 1 t e - s t d t = - 1 ∙ e - s ∙ 1 s + 0 ∙ e - s ∙ 0 s + 1 s ∫ 0 1 e - s t d t

Sendo que a integral a direita que sobrou na verdade já fizemos antes, quando transformamos d v em v , então seu resultado sai direto:

∫ 0 1 t e - s t d t = - e - s s + 1 s ∙ - e - s t s t = 0 t = 1

∫ 0 1 t e - s t d t = - e - s s + 1 s ∙ - e - s ∙ 1 s + e - s ∙ 0 s

∫ 0 1 t e - s t d t = - e - s s - e - s s 2 + 1 s 2

A transformada vai ser então:

f t = 1 1 - e - 2 s ∫ 0 1 t e - s t d t

f t = 1 1 - e - 2 s ∙ - e - s s - e - s s 2 + 1 s 2

Resposta

f t = 1 1 - e - 2 s ∙ - e - s s - e - s s 2 + 1 s 2

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