Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

Questão 2: Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

d )   f 4 t = t 2 - 1 ,   t ≥ 0

Passo 1

Bem, calcular a transformada do módulo não rola, neh? Então que tal transformar o módulo em uma definição de função por partes?

Bem

t 2 - 1 = 0   →       t 2 = 1   →

t = ± 1     →

Se fizermos um esboço dessa parábola aí para ter uma ideia, ganhamos o seguinte:

t 2 - 1 < 0     →         - 1 < t < 1              

t 2 - 1 ≥ 0     →         t ≥ 1   e   t ≤ - 1

Ora! O módulo elimina o negativo da função, então...

t 2 - 1 = - t 2 - 1   ,         - 1 < t < 1 t 2 - 1 ,               t ≥ 1   e   t ≤ - 1

Beleza, agora como f 4 é...

f 4 t = t 2 - 1 ,   t ≥ 0

Então...

f 4 t = - t 2 - 1   ,         0 ≤ t < 1 t 2 - 1 ,               t ≥ 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau !

Ora...

f 4 t = - t 2 - 1   ,         0 ≤ t < 1 t 2 - 1 ,               t ≥ 1       →      

Vamos ter que colocar um degrau em 0 e um degrau em 1 de tal forma que a partir de 1 a gente fique apena com t 2 - 1 , que tal assim?:

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 u 1 t t 2 - 1

Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre 0 e 1 , o degrau de u 1 t = 0 , a partir de 1 ele é u 1 t = 1 e fazendo a subtração acontecer !

Como a transformada do degrau é:

L u a f t - a = e - a s F s

Então seria legal se transformássemos:

t 2 - 1 = t + 1 t - 1   →

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 t + 1 u 1 t t - 1   →

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 t + 2 u 1 t t - 1   →

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 t u 1 t t - 1 + 2 u 1 t t - 1

Passo 3

Aplicando Laplace...

L - u 0 t t 2 - 1 + 2 t u 1 t t - 1 + 2 u 1 t t - 1 =

- L u 0 t t 2 - 1 + 2 L t u 1 t t - 1 + 2 L u 1 t t - 1

Pow, então vamos calcular cada um separadamente!

Passo 4

L u 0 t t 2 - 1 =

Como f t - 0 = t 2 - 1 ...

e 0 s L t 2 - 1 =

2 ! s 3 - 1 s

s > 0 aqui.

Passo 5

L t u 1 t t - 1

Bem, quando temos um t multiplicando, calculemos assim:

L t n g t = - 1 n d n d s n L g t   →

Então...

L t u 1 t t - 1 = - 1 1 d d s L u 1 t t - 1

s > 0 aqui.

E

L u 1 t t - 1

Pela fórmula...

L u a f t - a = e - a s F s   →

L u 1 t t - 1 = e - s ⋅ L t = e - s s 2

Aqui s > - 1 .

Então...

L t u 1 t t - 1 = - 1 1 d d s e - s s 2 =

- s 2 - e - s - e - s ⋅ 2 s s 4 =

- - s 2 e - s - 2 s e - s s 4 =

e - s s + 2 s 3

Então concluímos que s > 0 .

Passo 6

Por último...

L u 1 t t - 1

Já calculamos...

L u 1 t t - 1 = e - s s 2

s > - 1 .

Passo 7

Então, concluímos que....

F 4 s = - L u 0 t t 2 - 1 + 2 L t u 1 t t - 1 + 2 L u 1 t t - 1 →

F 4 s = - 2 ! s 3 - 1 s + 2 e - s s + 2 s 3 + 2 e - s s 2 →

F 4 s = - 2 ! s 3 - 1 s + 4 e - s s 2 + 4 e - s s 3

Como s > 0 ...

Resposta

F 4 s = - 2 ! s 3 - 1 s + 4 e - s s 2 + 4 e - s s 3 ,     s > 0

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