Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável s a transformada é válida:

  1. f 2 t = u 2 π sen ⁡ t + e t cos ⁡ 3 t ,   t ≥ 0

Passo 1

Começamos aplicando a transformada em toda a função:

L f 2 t = L u 2 π sen ⁡ t + e t cos ⁡ 3 t

E usamos a linearidade da transformada para separá-las: L f 2 t = L u 2 π sen ⁡ t + L e t cos ⁡ 3 t

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Passo 2

Agora, vamos olhar para cada transformada que sobrou individualmente.

L u 2 π sen ⁡ t

De forma geral, temos que o degrau vai ter esse efeito na transformada:

L u c y t - c = e - c s L y t

Aí você pode pensar que não temos esse caso no problema, pois é: L u 2 π sen ⁡ t

E não

L u 2 π sen ⁡ t - 2 π

Mas a função sen ⁡ t é 2 π -periódica, isso significa exatamente que:

sen ⁡ t = sen ⁡ t - 2 π

Portanto:

L u 2 π sen ⁡ t = L u 2 π sen ⁡ t - 2 π = e - 2 π s L sen ⁡ t

E por tabela, vamos ter: L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

Então:

L u 2 π sen ⁡ t = e - 2 π s s 2 + 1

Temos que analisar agora para quais valores de s a transformada é válida. Para isso, lembramos da definição:

L y t = ∫ 0 ∞ y t e - s t d t

Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:

L u 2 π sen ⁡ t = ∫ 0 ∞ u 2 π sen ⁡ t e - s t d t

Olhando para exponencial, vemos que precisamos que s > 0 para garantir a convergência. Então, vamos ter:

L u 2 π sen ⁡ t = e - 2 π s s 2 + 1 , s > 0

Legal. Uma já foi.

Passo 3

Vamos ver agora L e t cos ⁡ 3 t . Sempre que aparecer uma exponencial multiplicando uma outra função vamos ter a situação na forma: L e c t y t = L y t s - c

Ou seja, a transformada vai aparecer deslocada. Bem, no nosso caso temos:

L e t cos ⁡ 3 t = L cos ⁡ 3 t s - 1

A transformada do cosseno, por tabela é:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Então:

L cos ⁡ 3 t = s s 2 + 9

E nossa derivada deslocada vai essa lindeza aí:

L e t cos ⁡ 3 t = L cos ⁡ 3 t s - 1 = s - 1 s - 1 2 + 9

Para saber os valores de s , substituímos na definição:

L e t cos ⁡ 3 t = ∫ 0 ∞ e t cos ⁡ 3 t e - s t d t = ∫ 0 ∞ cos ⁡ t e - s - 1 t d t

Olhando para a exponencial, vemos que precisamos que: - s - 1 < 0

s - 1 > 0

s > 1

Assim, vamos ter: L e t cos ⁡ 3 t = s - 1 s - 1 2 + 9 ,   s > 1

Passo 4

Já temos todas a transformadas que precisamos. Aí então vai ficar:

L f 2 t = L u 2 π sen ⁡ t + L e t cos ⁡ 3 t

L f 2 t = e - 2 π s s 2 + 1 + s - 1 s - 1 2 + 9

Para determinar os valores de s , pegamos sempre o caso mais restrito, que é justamente s > 1 , então temos:

L f 2 t = e - 2 π s s 2 + 1 + s - 1 s - 1 2 + 9 , s > 1

E é isso aí!

Resposta

L f 2 t = e - 2 π s s 2 + 1 + s - 1 s - 1 2 + 9 , s > 1

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