Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

Questão 2: Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

e )   f 5 t = cos ⁡ 2 t ,             s e   0 ≤ t < π e t - π   ,         s e   t ≥ π

Passo 1

Vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau !

Ora...

f 5 t = cos ⁡ 2 t ,             s e   0 ≤ t < π e t - π   ,         s e   t ≥ π       →      

Vamos ter que colocar um degrau em π de tal forma que a partir dele a gente fique apena com t 2 - 1 , que tal assim?:

f 5 t = 1 - u π t cos ⁡ 2 t + u π t e t - π     →

f 5 t = cos ⁡ 2 t - u π t cos ⁡ 2 t + u π t e t - π     →

Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre 0 e 1 , o degrau de 1 - u π t = 1 , a partir de π 1 - u π t = 0   ele é u π t = 1 e fazendo a mágica acontecer !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, aplicando então a transformada de Laplace...

L 1 - u π t cos ⁡ 2 t + u π t e t - π   = L cos ⁡ 2 t - L u π t cos ⁡ 2 t + L u π t e t - π  

Vamos calcular cada um deles separados primeiro!

Passo 3

Primeiro...

L cos ⁡ 2 t = s s 2 + 2 2 =

s s 2 + 4

Onde s > - 2

Passo 4

Agora vamos para...

L u π t cos ⁡ 2 t

Pow! Para aplicar o degrau precisamos de

L u a f t - a = e - a s L f t

Ter cos ⁡ 2 t - π . Por sorte...

cos ⁡ 2 t - 2 π = cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 π + sin ⁡ 2 t sin ⁡ 2 π =

cos ⁡ t

Então...

L u π t cos ⁡ 2 t = L u π t   cos ⁡ 2 t - π =

e - π s L cos ⁡ 2 t =

s e - π s s 2 + 4

Onde s > - 2

Passo 5

Por último...

L u π t e t - π   = e - π s L e t

Como L e t = 1 s - 1 ...

L u π t e t - π   = e - π s s - 1

Onde s > 1

Passo 6

Assim...

F 5 s = L cos ⁡ 2 t - L u π t cos ⁡ 2 t + L u π t e t - π   →

F 5 s = s s 2 + 4 - s e - π s s 2 + 4 + e - π s s - 1

Onde s > 1 mesmo.

Resposta

F 5 s = s s 2 + 4 - s e - π s s 2 + 4 + e - π s s - 1 ,   s > 1

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