Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável s a transformada é válida:

  1. f 4 t = t - 2 ,   t ≥ 0

Passo 1

Começamos aplicando a transformada em toda a função:

L f 4 t = L t - 2

A ideia aqui usar o fato que:

t - 2 = t - 2 t ≥ 2 2 - t 0 < t < 2

Aí podemos escrever a função por meio de função degrau. De 0 até 2 , temos: f 4 t = 2 - t + …

Já em t = 2 , 2 - t some, então temos que subtrairmos um degrau multiplicando a função:

f 4 t = 2 - t - 2 - t u 2 t + …

Neste mesmo ponto, a função também passa a ser t - 2 , então somamos um degrau multiplicando essa função: f 4 t = 2 - t - 2 - t u 2 t + t - 2 u 2 t

f 4 t = 2 - t + 2 t - 2 u 2 t

Dessa forma, vamos ter:

L f 4 t = L t - 2 = L 2 - t + 2 t - 2 u 2 t

Usando as propriedades da transformada, vamos ter: L f 4 t = L 2 - t + 2 L t - 2 u 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começamos com L 2 - t . Podemos separar mais ainda, ficando: L 2 - t = 2 L 1 - L t

De forma geral, temos: L t n = n ! s n + 1

Assim, para n = 0 e n = 1 , vamos ter: L 2 - t = 2 s - 1 s 2

Legal. Para considerar o valor de s , lembramos da definição da transformada:

L y t = ∫ 0 ∞ y t e - s t d t

Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:

L 2 - t = ∫ 0 ∞ 2 - t e - s t d t

Então vemos que para o que está dentro da exponencial só será menor que zero se s > 0 , assim teremos:

L 2 - t = 2 s - 1 s 2 , s > 0

Passo 3

Bem, agora vamos para

L t - 2 u 2 t

De maneira geral, temos que:

L f t - c u c t = e - c s L f t

Então, no nosso caso temos c = 2 e: L t - 2 u 2 t = e - 2 s L t = e - 2 s s 2

Aplicando a definição, vamos ter:

L t - 2 u 2 t = ∫ 0 ∞ t - 2 u 2 t e - s t d t = ∫ 2 ∞ t - 2 e - s t d t

Então nada muda, continuaremos com s > 0 , ficando:

L t - 2 u 2 t = e - 2 s s 2 , s > 0

Passo 4

Agora juntamos tudo:

L f 4 t = L 2 - t + 2 L t - 2 u 2 t

L f 4 t = 2 s - 1 s 2 + 2 e - 2 s s 2

Pegamos o caso mais restrito para s , que é justamente s > 0 (o único caso haha)

L f 4 t = 2 s - 1 s 2 + 2 e - 2 s s 2 , s > 0

Resposta

L f 4 t = 2 s - 1 s 2 + 2 e - 2 s s 2 , s > 0

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