Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

UNICAMP - (Cálculo 3) - P1 2020.1

Dada:

f t = cos ⁡ t ,     0 ≤ t < π 2 t 2 ,     π 2 ≤ t < 6 t ,     t ≥ 6

Desenhe o gráfico de f t (não se preocupe com escala). Expresse f t usando funções escada u t - a = u a t . Utilizando a expressão da função f t encontrada, calcule a transformada de Laplace f t . Justifique todas as propriedades da tabela de Transformadas de Laplace usadas.

Passo 1

Eaiii povo, tudo na paz? Vamos lá! Pra começar, vamos lembrar que:

u a t = 1 ,     t ≥ a 0 ,     t < a

Dessa forma, pra escrever f t cheio de terminhos como esse, vamos ter que aproveitar de artimanhas parecidas com essa:

cos ⁡ t ∙ u a t = cos ⁡ t ∙ 1 ,     t ≥ a cos ⁡ t ∙ 0 ,     t < a = cos ⁡ t ,     t ≥ a 0 ,     t < a

Bom, então uma boa primeira ideia , já que temos:

f t = cos ⁡ t ,     0 ≤ t < π 2 t 2 ,     π 2 ≤ t < 6 t ,     t ≥ 6

Fazer:

f t = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 ∙ u π 2 t + t ∙ u 6 t

Um cuidado com isso, no entanto, porque na reta real, isso significa que temos:

E queremos isso na real:

Então pra compensar, a partir de π 2 , tenho que remover o cos ⁡ t e a partir de 6 , tenho que remover o t 2 . Pra fazer isso basta adicionar termos negativos que considerem essa remoção:

f t = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 ∙ u π 2 t + t ∙ u 6 t - cos ⁡ t ∙ u π 2 t - t 2 ∙ u 6 t

O que resulta em:

f t = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 - cos ⁡ t ∙ u π 2 t + t - t 2 ∙ u 6 t

Pra confirmar que isso ta certo, podemos fazer as retas reais desses 3 carinhas:

Note que a soma desses três dá exatamente o nosso f t :

Usando a ideia da reta real, fazer o esboço de f t fica beeem mais tranquilo, saca só:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra gente fechar tudo falta só ver a transformada dessa função doida. Em todos os casos, vamos acabar usando essa propriedade:

Assim, seja:

f t = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 - cos ⁡ t ∙ u π 2 t + t - t 2 ∙ u 6 t

f t = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 - cos ⁡ t ∙ u π 2 t + t - t 2 ∙ u 6 t

Vamos ter:

F s = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 - cos ⁡ t ∙ u π 2 t + t - t 2 ∙ u 6 t

F s = e - 0 s ∙ F 1 s + e - π 2 s ∙ F 2 s + e - 6 s ∙ F 3 s

Onde:

f 1 t - 0 = cos ⁡ t → F 1 s = f 1 t

f 2 t - π 2 = t 2 - cos ⁡ t → F 2 s = f 2 t

f 3 t - 6 = t - t 2 → F 3 s = f 3 t

Falta só a gente achar F 1 s , F 2 s , F 3 s e partimos pro abraço, vamos lá! Pra começar, temos o primeiro caso que é bem direto, já que c = 0 . Nesse caso, usando a propriedade 6 , temos:

f 1 t = cos ⁡ t → F 1 s = f 1 t = cos ⁡ t = s s 2 + 1

Pro segundo caso, vamos ter que se:

f 2 t - π 2 = t 2 - cos ⁡ t

Então:

f 2 t = t + π 2 2 - cos ⁡ t + π 2

E de propriedades trigonométricas, ao mesmo tempo abrindo o quadrado ao lado, temos:

f 2 t = t 2 + π t + π 2 4 - cos ⁡ t cos ⁡ π 2 - sen ⁡ t sen ⁡ π 2

f 2 t = t 2 + π t + π 2 4 - - sen ⁡ t

f 2 t = t 2 + π t + π 2 4 + sen ⁡ t

E pra fazer a transformada desse cara, temos que usar as seguintes propriedades:

Sendo assim, ficamos com esse cara bacana aqui:

F 2 s = f 2 t

F 2 s = t 2 + π t + π 2 4 + sen ⁡ t

F 2 s = t 2 + π ∙ t + π 2 4 ∙ 1 + sen ⁡ t

F 2 s = 2 s 3 + π s 2 + π 2 4 s + 1 s 2 + 1

Pra fechar falta só achar F 3 s . Galera, sem mistério, mesmíííííssima ideia. Então se:

f 3 t - 6 = t - t 2

Vamos ter:

f 3 t = t + 6 - t + 6 2

f 3 t = t + 6 - t 2 + 12 t + 36

Juntando os termos:

f 3 t = t + 6 - t 2 - 12 t - 36

f 3 t = - t 2 - 11 t - 30

A transformada inversa vai usar as propriedades 1 e 3 mostradas na foto anterior, ok? Bora lá!

F 3 s = f 3 t

F 3 s = - t 2 - 11 t - 30

F 3 s = - t 2 - 11 ∙ t - 30 ∙ 1

F 3 s = - 2 s 3 - 11 s 2 - 30 s

Passo 3

Pra gente fechar tudo tudinho mesmo, falta só juntar. Início do passo passado (hahaha soou engraçado), achamos:

F s = e - 0 s ∙ F 1 s + e - π 2 s ∙ F 2 s + e - 6 s ∙ F 3 s

Ai precisamos achar F 1 s , F 2 s , F 3 s e achamos! Eles eram:

F 1 s = s s 2 + 1

F 2 s = 2 s 3 + π s 2 + π 2 4 s + 1 s 2 + 1

F 3 s = - 2 s 3 - 11 s 2 - 30 s

Juntando isso ai tudo, temos:

F s = e - 0 s ∙ s s 2 + 1 + e - π 2 s ∙ 2 s 3 + π s 2 + π 2 4 s + 1 s 2 + 1 + e - 6 s ∙ - 2 s 3 - 11 s 2 - 30 s

F s = s s 2 + 1 + e - π 2 s ∙ 2 s 3 + π s 2 + π 2 4 s + 1 s 2 + 1 + e - 6 s ∙ - 2 s 3 - 11 s 2 - 30 s

Resposta

f t = cos ⁡ t ∙ u 0 t + t 2 - cos ⁡ t ∙ u π 2 t + t - t 2 ∙ u 6 t

F s = s s 2 + 1 + e - π 2 s ∙ 2 s 3 + π s 2 + π 2 4 s + 1 s 2 + 1 + e - 6 s ∙ - 2 s 3 - 11 s 2 - 30 s

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