Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável s a transformada é válida:

  1. f 5 t = cos ⁡ t 0 ≤ t < 2 π cos ⁡ t + sen ⁡ 3 t t ≥ 2 π

Passo 1

Vemos que a função era cos ⁡ t e então, em t = 2 π , para a ter também sen ⁡ 3 t . Isso significa que temos um degrau aí, ficando:

f 5 t = cos ⁡ t + sen ⁡ 3 t u 2 π t

Legal, aplicando a transformada e usando as propriedades, vamos ter: L f 5 t = L cos ⁡ t + sen ⁡ 3 t u 2 π t

L f 5 t = L cos ⁡ t + L sen ⁡ 3 t u 2 π t

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Passo 2

Começamos com L cos ⁡ t . Temos que, de forma geral: L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Assim:

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Para considerar o valor de s , lembramos da definição da transformada:

L y t = ∫ 0 ∞ y t e - s t d t

Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:

L cos ⁡ t = ∫ 0 ∞ cos ⁡ t e - s t d t

Então vemos que para o que está dentro da exponencial só será menor que zero se s > 0 , assim teremos:

L cos ⁡ t = s s 2 + 1 , s > 0

Passo 3

Bem, agora vamos para L sen ⁡ 3 t u 2 π t . Para o degrau, temos de maneira geral: L y t - c u c t = e - c s L y t

Assim, para o nosso caso precisamos que apareça:

sen ⁡ 3 t - 2 π u 2 π t

Mas temos:

sen ⁡ 3 t u 2 π t

E aí? O que podemos fazer? Bem a função seno é 2 π periódica, isso significa que:

sen ⁡ 3 t = sen ⁡ 3 t - 2 π

Então, dessa forma:

L sen ⁡ 3 t u 2 π t = L sen ⁡ 3 t - 2 π u 2 π t

L sen ⁡ 3 t - 2 π u 2 π t = e - 2 π s L sen ⁡ 3 t

Por tabela, temos: L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então, para o nosso caso, vamos ter: L sen ⁡ 3 t u 2 π t = 3 e - 2 π s s 2 + 9

Aplicando a definição, vamos ter:

L sen ⁡ 3 t u 2 π t = ∫ 0 ∞ sen ⁡ 3 t u 2 π t e - s t d t = ∫ 2 π ∞ sen ⁡ 3 t e - s t d t

Então nada muda, continuaremos com s > 0 , ficando:

L sen ⁡ 3 t u 2 π t = 3 e - 2 π s s 2 + 9 , s > 0

Passo 4

Agora juntamos tudo:

L f 5 t = L cos ⁡ t + L sen ⁡ 3 t u 2 π t

L f 5 t = s s 2 + 1 + 3 e - 2 π s s 2 + 9

Pegamos o caso mais restrito para s > 0 , ficando:

L f 5 t = s s 2 + 1 + 3 e - 2 π s s 2 + 9 , s > 0

Resposta

L f 5 t = s s 2 + 1 + 3 e - 2 π s s 2 + 9 , s > 0

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