Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

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Enunciado

  1. Esboce o gráfico da seguinte função no intervalo 0,2 :
  2. f x = cos ⁡ π x ,       0 ≤ x < 1 0 ,       1 ≤ x

  3. Determine a transformada de Laplace da função do item (a).

Passo 1

Começamos com a letra (a). Bem, a primeira coisa a fazer é o traçado da função cosseno de x = 0 até x = 1 . A função é sempre senoidal, mas vamos determinar uns pontos para nos ajudar:

cos ⁡ 0 π = cos ⁡ 0 = 1

cos ⁡ 1 2 π = 0

cos ⁡ 1 π = cos ⁡ π = - 1

Ok, já temos uma base boa. Tracejando:

Para x > 1 a função vale zero, então traçamos a constante zero:

E tá feito nosso gráfico.

Passo 2

Agora vamos para a letra (b). Legal, como temos uma função definida por partes, vamos tentar representá-la por meio de funções degrau.

A função cos ⁡ π x seguia livremente até que desaparece em x = 1 . Isso significa que tem um degrau multiplicando a mesma função que subtrai cos ⁡ π x e começa em x = 1 :

f x = cos ⁡ π x - cos ⁡ π x u 1 t

Vamos agora determinar a transformada dessa função. Aplicando a transformada, temos: L f x = L cos ⁡ π x - cos ⁡ π x u 1 x

Usando as propriedades da transformada:

L f x = L cos ⁡ π x - L cos ⁡ π x u 1 x

Vamos olhar para cada transformada. Por tabela, temos que: L cos ⁡ a x = s s 2 + a 2

Assim, comparando temos a = π e, portanto:

L cos ⁡ π x = s s 2 + π 2

OK. Agora vamos para:

L cos ⁡ π x u 1 x

Temos que:

L f ( x - c ) u c x = e - c s L f ( x )

Comparando, c = 1 . Então:

f x - c = f x - 1 = cos ⁡ π x

cos ⁡ π x - π + π = cos ⁡ π x - 1 + π = f ( x - 1 )

Então:

f x = cos ⁡ π x + π = cos ⁡ π x + 1

Então:

L cos ⁡ π x u 1 x = e - s L cos ⁡ π x + 1

Agora vamos abrir esse cosseno:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ π x + 1 = cos ⁡ π x + π = cos ⁡ π x cos ⁡ π - s e n π x   s e n π

cos ⁡ π x + 1 = - cos ⁡ π x

L cos ⁡ π x u 1 x = e - s L - cos ⁡ π x

L cos ⁡ π x u 1 x = - e - s s s 2 + π 2

Juntando tudo:

L f x = L cos ⁡ π x - L cos ⁡ π x u 1 x

L f x = s s 2 + π 2 + e - s s s 2 + π 2

Resposta

  1. L f x = s s 2 + π 2 + e - s s s 2 + π 2