Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

Questão 2: Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

c )   f 3 t = - t e - 4 t u 2 t ,   t ≥ 0

Passo 1

Bem, aplicando Laplace...

F 3 = L - t e - 4 t u 2 t

Perceba que podemos olhar para essa Laplace dessa forma aqui:

F 3 = L u 2 t - t e - 4 t

É útil pensarmos assim, pois ora, sabemos o que a função degrau faz com a transformada neh?

L u a f t - a = e - a s F s

Se pensarmos que...

f t - 2 = - t e - 4 t

Podemos encontrar a transformada da L f t = F s e ser feliz! Mas agora, quem é f t ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo então uma mudança de variável do tipo...

t - 2 = x               o u           x + 2 = t

Então...

f t - 2 = - t e - 4 t           →           f x = - x + 2 e - 4 x + 2 →

f x = - x + 2 e - 4 x - 8   →

f x = - e - 8 x + 2 e - 4 x

Como x é apenas o nome de uma variável, podemos chamar x de t novamente...

f t = - e - 8 t + 2 e - 4 t

Veja que agora de fato podemos calcular F s = L f t !

Passo 3

Calculando então...

L f t = L - e - 8 t + 2 e - 4 t =

- e - 8 L t + 2 e - 4 t

Essa daí segue a Laplace de função vezes uma exponencial:

L e a t f x = F s - a

Como

L t + 2 = 2 s 2 + 2 s

Então...

L t + 2 e - 4 t = 2 s + 4 2 + 2 s + 4

E...

F s = L f t = L - e - 8 t + 2 e - 4 t =

- e - 8 2 s + 4 2 + 2 s + 4

Com s > - 4 .

Passo 4

Mas, como vimo lá no passo 1 :

L u a f t - a = e - a s F s

Logo...

F 3 = L u 2 t - t e - 4 t = L u 2 f t - 2 = e - 2 s F s =

e - 2 s - e - 8 2 s + 4 2 + 2 s + 4 =

- e - 2 s - 8 2 + 2 s + 4 s + 4 2

Resposta

- e - 2 s - 8 2 + 2 s + 4 s + 4 2       s > - 4

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