Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2018.1, Questão 4ab

  1. Esboce o gráfico da seguinte função no intervalo 0,2 :
  2. f x = cos π x ,       0 x < 1 0 ,       1 x

  3. Determine a transformada de Laplace da função do item (a).

Passo 1

Começamos com a letra (a). Bem, a primeira coisa a fazer é o traçado da função cosseno de x = 0 até x = 1 . A função é sempre senoidal, mas vamos determinar uns pontos para nos ajudar:

cos 0 π = cos 0 = 1

cos 1 2 π = 0

cos 1 π = cos π = - 1

Ok, já temos uma base boa. Tracejando:

Para x > 1 a função vale zero, então traçamos a constante zero:

E tá feito nosso gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para a letra (b). Legal, como temos uma função definida por partes, vamos tentar representá-la por meio de funções degrau.

A função cos π x seguia livremente até que desaparece em x = 1 . Isso significa que tem um degrau multiplicando a mesma função que subtrai cos π x e começa em x = 1 :

f x = cos π x - cos π x u 1 t

Vamos agora determinar a transformada dessa função. Aplicando a transformada, temos: L f x = L cos π x - cos π x u 1 x

Usando as propriedades da transformada:

L f x = L cos π x - L cos π x u 1 x

Vamos olhar para cada transformada. Por tabela, temos que: L cos a x = s s 2 + a 2

Assim, comparando temos a = π e, portanto:

L cos π x = s s 2 + π 2

OK. Agora vamos para:

L cos π x u 1 x

Por tabela, temos que: L g x - c u c x = e - c s L g x

Ou seja, comparando vemos que precisamos ter:

L cos π x - 1 u 1 x

Mas temos:

L cos π x u 1 x

Como proceder então?

A função cosseno é 2 π -periódica, então temos que:

cos π x = cos π x - 2 π

Vamos tentar chegar no que queremos a partir disso: cos π x = cos π x - π - π = cos π x - 1 - π

Usando agora a subtração de ângulos: cos a - b = cos a cos b + sen a sen b

cos π x - 1 - π = cos π x - 1 cos π + sen π x - 1 sen π = - cos π x - 1

Legal, então vamos ter:

L cos π x u 1 x = - L cos π x - 1 u 1 x = - e - s L cos π x

L cos π x u 1 x = - e - s s s 2 + π 2

Dessa maneira, vamos ter:

L f x = L cos π x - L cos π x u 1 x

L f x = s s 2 + π 2 - - e - s s s 2 + π 2

L f x = s s 2 + π 2 + e - s s s 2 + π 2

Pronto!

Resposta

  1. L f x = s s 2 + π 2 + e - s s s 2 + π 2

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