Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2017.1 - Vespertino, Questão 4

Escreve g ( t ) usando funções degrau e calcule sua transformada de Laplace, L f t ( s )

g t = 0 ,   s e   0 t 1 1 - t ,   s e   1 t 2 - 1 ,   s e   t 2

Passo 1

Vamos escrever a função   g em termos de função degrau. Bora seguir a dica.

Observa que :

u 1   ( t )   =   0 , para t < 1 e u 1   ( t )   =   1 , para t > 1 .

Assim, podemos multiplicar a função degrau dessa maneira

- u 1 ( t )     t - 1  

Como para   t 2 , f t = - 1 , podemos usar uma função degrau subtraindo a centrada x = 2 . Desse jeitinho:

- t - 1 + t - 2 = - 1

Aplicando função degrau unitário...

- u 1 t   t - 1 + u 2   t t - 2  

Pronto!

g t = - u 1 t   t - 1 + u 2   t t - 2  

Vamo checar?

Para t < 1

u t < 1 = - 0 t - 1 + 0 t - 2 = 0

Para 1 t < 2

u 1 t < 2 = - 1 t - 1 + 0 t - 2 = 1 - t

Para 2 t

u t 2 = - 1 t - 1 + 1 t - 2 = - 1

Como a função que o enunciado pediu ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é partir pro abraço e calcular a transformada!

Lembrando que:  

  L   u a t f t - a =   e - a s f s

L [ 1 ] =   1 s ,   s > 0

L [ t m ] =   m ! s m + 1 ,   s > 0

Aplicando isso a nossa f t !

L g t = - e - s 1 s ² +   e - 2 s 1 s 2

Resposta

L g t = - e - s 1 s ² +   e - 2 s 1 s 2

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