Exercícios Resolvidos de Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 33 – 1.92.

Quando dois vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é φ .

  1. Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
  2. ( A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ φ )    

  3. Se A →   e B → possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de φ para que o módulo da soma de vetores seja igual ao módulo de A → ou de B → ?

Passo 1

A gente tem aqui que mostrar que a soma de dois vetores que saiam do mesmo ponto tenham módulo dado pela equação mostrada. Antes de mais nada vamos relembrar o que é o módulo da soma de dois vetores, se liga no desenho:

A resultante R é a soma dos dois vetores que partem do mesmo ponto, então o seu comprimento é o módulo desse vetor e é ele quem queremos mostrar que é dado pela equação.

Se lembra os modos que a gente aprendeu pra somar dois vetores? Então, essa fórmula ai é muito parecida com a lei dos cossenos, né?

R = ( A 2 + B 2 - 2 A B cos ⁡ φ )    

Então elas devem ter algo a ver.

A diferença ta no sinal do A B c o s ( ϕ ), né? Isso é porque esse ângulo se for comparado ao ângulo que deve ser usado na lei dos cossenos tem o mesmo valor do cosseno só que com o sinal invertido! Se liga só!

Na lei dos cossenos usamos o ângulo 180 - φ , mas podemos usar φ aplicando a seguinte relação:

C o s ( 180 - φ ) = - C o s ( φ )

Assim, quando eu substituir isso na equação das leis dos cossenos o ultimo termo fica positivo!!!

R = ( A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ φ )    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b) Aqui é o seguinte precisamos encontrar o ângulo entre vetores iguais que façam com que o módulo da soma tenha o mesmo módulo de um dos vetores que são iguais. Então comecemos aqui igualando esses camaradas, já que é o que o enunciado nos fala.

A → = B →

Como ele fala que o módulo resultante da soma é o módulo de  A → ou B → , podemos substituir na equação.

A → = B → = C →  

Assim temos:

C → =   ( C → 2 + C → 2 + 2 C → C → cos ⁡ φ )

C 2 = C 2 + C 2 + 2 C 2 cos ⁡ φ

2 C 2 c o s φ = - C 2

cos ⁡ φ =   - 1 2

Assim temos:

φ = 120 °

Resposta

φ = 120 °

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