Exercícios Resolvidos de Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

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Enunciado

Uma pessoa indo para uma caminhada segue a trajetória mostrada na figura. O passeio

total consiste em quatro trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o deslocamento resultante da pessoa medido a partir do ponto de partida (start)?

Passo 1

O problema deu um gráfico que tem uma série de vetores. E nos perguntou qual foi o deslocamento total. Bom, o deslocamento total é aquele em que somamos todos os vetores, mas para isso, precisamos primeiro calcular as componentes de todos eles.

A soma vetorial é diferente da soma algébrica. Para somar vetores, precisamos somar componente a componente. Então para resolver essa questão precisamos redesenhar os vetores, achar suas componentes. Depois disso fazer a soma.

Com isso vamos ter um vetor resultante. Aí podemos aplicar as fórmulas do módulo de um vetor para achar o deslocamento total. Beleza?

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Vamos desenhar os vetores que estão em sequência no deslocamento todos eles partindo da origem do sistema de coordenadas:

Os vetores A → e B → estão sobre os eixos. Para os outros vamos precisar decompor. O vetor A é horizontal, então só tem a componente x ^ :

A → = 100 x ^

E vetor B é vertical para baixo, então só tem a componente y:

B → = - 300 y ^

Tranquilo?

O vetor C → tem componente vertical e horizontal. E as duas são negativas! Então usando seno e cosseno do ângulo de 30 ° , podemos achar suas componentes:

C x = C c o s 30 = 150 c o s 30 = 130

C y = C s e n 30 = 150 s e n 30 = 75

E o vetor C → é:

C → = - 130 x ^ - 75 y ^

Por fim o vetor D → aponta para cima na direção vertical, mas para o sentido negativo do eixo x. então sua componente vertical é positiva, mas sua horizontal, negativa. Usando de novo seno e cosseno, podemos achar suas componentes:

D x = D c o s 60 = 200 c o s 60 = 100

D y = 200 s e n 60 = 200 s e n 60 = 173

Assim, o vetor D → é:

D → = - 100 x ^ + 173 y ^

Beleza?

Passo 3

O vetor resultante vai ser a soma (componente a componente) de todos os vetores:

R → = A → + B → + C → + D →

R → = 100 x ^ - 300 y ^ - 130 x ^ - 75 y ^ - 100 x ^ + 173 y ^

Fazendo a soma de x com x, e y com y:

R → = - 130 x ^ - 202 y ^

O vetor resultante tem componentes negativas, o que faz sentido com o desenho:

E o deslocamento total é o módulo do vetor resultante:

R → = R x 2 + R y 2 = - 130 2 + - 202 2 = 240

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

240

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