Exercícios Resolvidos de Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

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Enunciado

Os três vetores na Figura abaixo têm módulos a = 3; 00 m, b = 4; 00 m, c = 10; 0 m e o ângulo =   30 ° . Quais são

(a) a componente x e

(b) a componente y de a → ;

(c) a componente x e

(d) a componente y de b → ; e

(e) a componente x e

(f) a componente y de c → ?

Se c → =   p   a →   +   q   b → , quais são os valores de

(g) p e

(h) q?

Passo 1

O problema deu um gráfico com três vetores, deu também os módulos dos vetores e o ângulo que b → faz com a horizontal. Então a ideia é casar os dados com o desenho para determinar as componentes. Mas calma, vou fazer com você!

Letra (a) e (b):

a é um vetor horizontal, então sua componente y é zero. E a componente x é o seu módulo na direção de i ^ (que é o vetor que dá a direção e o sentido do eixo x positivo):

então a componente x de a → :

a x = 3 m

E a componente de y:

a y = 0

Assim o vetor a → é:

a → = 3 i ^

Passo 2

Letras (c) e (d): o vetor b → tem módulo 4 e faz um ângulo θ = 30 ° com a horizontal. Então esse vetor pode ser descrito por suas componentes vertical e horizontal com ajuda do módulo (em vermelho) e das funções seno e cosseno:

a componente x (horizontal) é o cateto adjacente desse triângulo:

c o s θ = b x b

b x = b c o s θ = 4 c o s 30 = 3,46

E a componente y (vertical) é o cateto oposto a θ :

s e n θ = b y b

b y = b s e n θ = 4 s e n 30 = 2

Assim o vetor b → em termos dos vetores que dão a direção e sentido positivos dos eixos x e y é:

b → = 3,46 i ^ + 2 j ^

Notem que esse vetor tem suas componentes positivas.

Certo? Vamos olhar agora para o vetor c → ?

Passo 3

Agora as letras (e) e (f): vamos olhar para o vetor c → :

Por simetria, o ângulo que o vetor em verde faz com o lado negativo de x é α = 60 ° . Notem que agora a componente x do vetor vai ser negativa! A componente y segue sendo positiva. Então usando seno e cosseno, podemos achar as componentes, sabendo que o módulo do vetor (será nossa hipotenusa) é 10 :

c o s α = c x c

c x = c   c o s α = 10   c o s 60 = 5

s e n α = c y c

c y = 10   s e n 60 = 8,66

Assim o vetor c → em termos dos vetores que dão a direção e sentido positivos dos eixos x e y é:

c → = - 5 i ^ + 8,66 j ^

Passo 4

Letras (g) e (h): Agora o problema nos diz que o vetor c → vai ser escrito em termos dos outros dois vetores, da seguinte forma:

c → = p a → + q b →

Bom, sabemos que um vetor só é igual ao outro quando suas componentes são todas iguais. Então é essa propriedade que vou usar aqui: as componentes de c devem ser iguais às de a → (multiplicado por uma constante p) e de b → (multiplicado por q):

- 5 ; 8,66 = ( 3 p + 3,46 p   ; 0 q + 2 q )

Daqui temos duas equações para achar as constantes que satisfazem essa igualdade:

3 p + 3,46 q = - 5 0 p + 2 q = 8,66

Da segunda temos o valor de q :

2 q = 8,66 ∴ q = 4,33

E substituindo na primeira:

3 p + 3,46 4,33 = - 5

3 p = - 19,98

p = - 6,66

Assim os valores de p e q são:

p = - 6,66

q = 4,33

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) a x = 3 m

b a y = 0

c b x = 3,46

d b y = 2

e c x = 5

f c y = 8,66

( g ) p = - 6,66

h q = 4,33

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