Exercícios Resolvidos de Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –1.91. Modificado.

Os dois vetores A → e B → são desenhados a partir de um mesmo ponto e C → = A → + B → .

  1. Mostre que quando C 2 = A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A → e B → é 90 ° .
  2. Mostre que quando C 2 < A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A → e B → é maior do que 90 ° .
  3. Mostre que quando C 2 > A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A → e B → está compreendido entre 0 ° e 90 ° .

Considere somente ângulos entre 0 º e 180 º .

Passo 1

Nessa questão estamos trabalhando com soma de vetores e o ângulo entre eles. Tudo tranquilo até aqui? Se liga nesse desenho aqui que ele vai ajudar a gente a entender o método de soma de veteores que será usado.

Se lembra que tínhamos dois tipos de soma? A pelo método do paralelogramo e o método geométrico? Aqui vamos usar o método do paralelogramo, pois ele falou que eles partem do mesmo ponto.

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ

E no enunciado foi dado o ângulo entre os vetores θ , que como podemos ver no desenho acima é o mesmo ângulo externo do paralelogramo que é o ângulo usado na fórmula!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando a equação percebemos que o que está mudando de uma letra pra outra é o ângulo Por isso, vamos analisar o c o s ⁡ ( θ ) . Pelo círculo trigonométrico sabemos que o cosseno nesse intervalo varia de 1 até -1.

Passo 3

Letra a) Quando temos C 2 = A 2 + B 2 , temo s o seguinte:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ

2 A B cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 0

Logo:

θ = 90 ° o u   270 °

Mas como o ângulo precisa estar entre 0 e 180 º , teremos:

θ = 90 º

Passo 4

Letra b)

Quando temos C 2 < A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ

A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ < A 2 + B 2

2 A B cos ⁡ θ < 0

cos ⁡ θ < 0

Se o cosseno do ângulo varia de - 1   até 1 mas nesse caso deve ser menor que 0 temos os seguintes limites pro cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ θ < 0

Pelo intervalo analisado só podemos ter valores negativos de cosseno menores que 0. Essa variação de cosseno pode ser visualizada melhor usando o circulo trigonométrico.

Através do círculo podemos ver que o cosseno tem valor 0 quando for 90 ° e vale - 1 quando for 180 º , e dentro desse intervalo é negativo.

Logo, provamos que

90 ° < θ < 18 0 °

Passo 5

Letra c)

Quando temos C 2 > A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ > A 2 + B 2

2 A B cos ⁡ θ > 0

cos ⁡ θ > 0

Analisando novamente o círculo podemos ver que o cosseno é positivo no intervalo dado:

Aonde vemos o cosseno do ângulo θ vale 1 para θ = 0 e 0 para θ = 90 º , sendo positivo nesse intervalo:

0 < θ < 90 °

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