Exercícios Resolvidos de Energia Potencial e Trabalho

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Enunciado

Quatro partículas carregadas são fixadas sobre os vértices de um quadrado de lado a , como mostrado na figura abaixo. Duas delas possuem carga q e as outras duas possuem carga - q . Este quadrado encontra-se sobre o plano X Y , com seu centro sobre a origem e seus lados paralelos aos eixos X e Y . O eixo Z é perpendicular ao plano do quadrado e passa por seu centro. Sobre essa situação, assinale a alternativa CORRETA:

(a) O trabalho realizado pela força elétrica ao trazer as quatro partículas do infinito até a configuração indicada na figura é nulo.

(b) O campo elétrico resultante produzido pelas quatro partículas tem a mesma intensidade em todos os pontos do eixo X .

(c) O campo elétrico resultante produzido pelas quatro partículas é nulo em todos os pontos do eixo Z .

(d) A força elétrica resultante sobre qualquer uma das partículas devido às outras três é nula.

(e) Uma partícula carregada abandonada do repouso sobre o centro do quadrado entrará em movimento devido à ação de uma força elétrica.

Passo 1

Nesse caso, temos 5 alternativas sobre o sistema mostrado na figura e apenas uma delas está correta, então, a melhor opção é vermos as mais prováveis de acordo com a teoria vista e testarmos.

Vamos começar testando a alternativa A.

O trabalho da força elétrica pra trazer essas cargas do infinito até essa configuração é dado por

W = - Δ U = - U e s s a   c o n f i g u r a ç ã o - U ∞ = - U e s s a   c o n f i g u r a ç ã o

Onde U ∞ = 0 é o potencial dessas cargas quando elas estão infinitamente afastadas. A energia dessa configuração é dada por

U e s s a   c o n f i g u r a ç ã o = ∑ u i j = ∑ q i q j 4 π ϵ 0 r i j = 1 4 π ϵ 0 ∑ q i q j r i j

Onde temos que somar as interações entre todas as cargas.

U e s s a   c o n f i g u r a ç ã o = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 a + q 1 q 3 2 a + q 1 q 4 a + q 2 q 3 a + q 2 q 4 2 a + q 3 q 4 a

U e s s a   c o n f i g u r a ç ã o = 1 4 π ϵ 0 - q 2 a + q 2 2 a - q 2 a - q 2 a + q 2 2 a - q 2 a

U e s s a   c o n f i g u r a ç ã o = q 2 4 π ϵ 0 a - 1 + 1 2 - 1 - 1 + 1 2 - 1 = q 2 4 π ϵ 0 a 2 2 - 4

Então o trabalho pra construir essa configuração é dado por

W = q 2 4 π ϵ 0 a 4 - 2 2

Que é diferente de 0 , ou seja, essa opção está errada!

Passo 2

Agora vamos olhar a opção B. Ela diz que o campo elétrico resultante tem a mesma intensidade em todos os pontos do eixo x . Vamos pegar dois pontos, um em x = 0 e outro em x > a e vamos desenhar os campos como a figura abaixo

Em x = 0 o campo resultante vai ser nulo. Já em x > a o campo vai ser diferente de 0 isso por que as cargas do lado direito estão mais próximas desse ponto do que as cargas do lado esquerdo, então os campos das cargas do lado direito é maior do que os campos produzidos pelas cargas do lado esquerdo.

Então essa opção está incorreta também!

Passo 3

Na alternativa C, ele nos diz que o campo elétrico resultante em qualquer ponto do eixo z vai ser 0.

Vamos começar lembrando que o campo elétrico é dado por

E → = k q r 2 r ^

Sendo r ^ o vetor unitário que é diretor da carga até o ponto do eixo z.

Sabendo que r vai ser a distância da carga até o ponto do eixo z , chegamos que

r = a ² 2 + z ²

Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma das cargas, numerando de acordo com a imagem.

E → 1 = k - q a ² 2 + z ² r ^ 1

E → 2 = k q a ² 2 + z ² r ^ 2

E → 3 = k - q a ² 2 + z ² r ^ 3

E → 4 = k q a ² 2 + z ² r ^ 4

Esses campos elétricos são mostrados vetorialmente pela figura abaixo, em um ponto arbitrário do eixo z .

Por soma vetorial, concluímos que a resultante desses vetores é 0.

Isso por que as cargas no primeiro e no terceiro quadrantes fazem juntos uma força que aponta na direção - z ^ e as cargas no segundo e quarto quadrante exercem juntas uma força na direção + z ^ . Como todas as cargas estão à mesma distância desse ponto no eixo z , a soma de todas as forças vai ser nula.

Então a alternativa C realmente está correta :D

Passo 4

Vamos olhar as outras pra ter certeza, beleza? Na letra D diz que a força elétrica resultante sobre qualquer uma das partículas devido às outras três é nula. Pra ver se é isso ou não vamos analisar as forças sobre uma das partículas

A força causada pela carga 3 é dada por

F 3 = k q 2 2 a 2 = k q 2 2 a 2

Que aponta na direção da diagonal para fora.

Já as forças causadas pelas cargas 2 e 4, se somam e apontam na direção da diagonal apontando para o centro do quadrado. Como elas se somam e apontam na direção da diagonal, temos que projetar na direção da diagonal, ou seja, multiplicar pelo cosseno de 45

F 2   e   4 = 2 F 2 cos ⁡ 45 = 2 k q 2 a 2 2 2 = 2 k q 2 a 2

Como essas duas forças têm direções opostas e intensidades diferentes, a força sobre essa carga não é nula. Então essa opção é incorreta também :)

Passo 5

Vamos pra última! Ela diz que se abandonarmos uma partícula do repouso sobre o centro do quadrado ela começará a se movimentar devido a uma força elétrica. Já vimos que no centro do quadrado o campo elétrico é nulo! Então uma carga posta no centro do quadrado ficará parada já que a força resultante é nula.

Essa opção também está errada :)

Resposta

(C) O campo elétrico resultante produzido pelas quatro partículas é nulo em todos os pontos do eixo Z .

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