Exercícios Resolvidos de Energia Potencial e Trabalho

Ver Teoria

Enunciado

Quatro partículas carregadas são fixadas sobre os vértices de um quadrado de lado a , como mostrado na figura abaixo. Suas cargas estão indicadas. Considere que a energia potencial eletrostática é nula quando as partículas estão infinitamente afastadas entre si. Sobre essa situação, considere as afirmativas abaixo:

Passo 1

Bom, vamos começar a estudar essa questão considerando a figura abaixo, em que identificamos as cargas de mesmo sinal com a mesma cor e também enumeramos cada uma delas. Vamos dizer que q > 0 , para facilitar a nossa discussão, mas o mesmo valerá para o caso em que q < 0 .

Na figura acima, representamos o centro do quadrado por um ponto P . Este ponto está a uma mesma distância a 2 / 2 de cada uma das cargas. Como q > 0 , os campos gerados pelas cargas 2 e 3 (ambas positivas) em laranja sobre o ponto P são de afastamento, como indicam os vetores de mesma cor.

Já as outras cargas 1 e 4, as de sinal – q < 0 (portanto negativas), produzem campos de aproximação (vetores em verde), também representados na figura.

Fica claro da figura que, ao somarmos os vetores, no ponto P teremos um campo resultante    E → R ≠ 0 . Portanto, no centro do quadrado, existe um campo elétrico diferente de zero!!

Repare que a gente nem precisou fazer conta para saber se há campo resultante   E → R e nem precisaríamos, pois o item ( I ) apenas afirma algo (ERRADO, no caso), sobre a existência de campo no ponto P .

Passo 2

Agora vamos olhar para o item ( I I ). Então, precisamos saber como é o trabalho realizado sobre a quinta partícula Q nesse caso. Como haverá uma força eletrostática atuando sobre a quinta carga Q , estamos falando de uma força conservativa, a qual realizará um trabalho dado pela seguinte expressão

W ∞ → P = - U P - U ∞ = - Q ( V P - V ∞   )

que é o trabalho realizado pela força eletrostática para levar Q do infinito para o ponto P , e V é o potencial produzido pelas cargas 1, 2, 3 e 4 em cada uma das posições de Q .

Como o potencial V ∞ = 0 , ou seja, o potencial que as partículas 1, 2, 3 e 4 geram no infinito é zero, precisamos apenas saber como é o potencial que elas geram no ponto P , que é o centro do quadrado e é para onde Q será levada.

Bom, a gente já viu que no centro do quadrado, o campo elétrico é diferente de zero! (Dá uma olhada na figura!) Agora, como fica o potencial V P ? Diferente do campo elétrico, o potencial elétrico é uma grandeza escalar, de maneira que a análise vetorial que fizemos na figura não se aplica para V P . Na verdade, é até mais fácil analisar esse caso para o potencial. Quer ver?

Olha na figura e veja que temos quatro cargas, todas com mesmo módulo, mas um par com carga de sinal de oposto ao outro par. Como elas estão à mesma distância ( = a 2 / 2 ) de P , temos o seguinte

V P = 1 4 π ϵ 0 2 q a 2 2 - 2 q a 2 2 = 0

Como V ∞ = 0 , temos que o trabalho é

W ∞ → P = - Q V P - V ∞   = 0

o que torna o item ( I I ) correto.

Passo 3

O item ( I I I ) afirma algo sobre a energia potencial eletrostática da configuração formada pelas cargas 1, 2, 3 e 4. A energia eletrostática de interação entre duas cargas q 1 e q 2 quaisquer distantes uma da outra por um tamanho r 12 é dada por

U 12 = q 1 q 2 4 π ϵ 0 r 12

Precisamos, então, aplicar essa expressão para as cargas do quadrado. Mas CUIDADO: a energia eletrostática total será a soma das energias de cada par contadas uma única vez. Isso significa que: a gente só vai contar a energia de um ÚNICO par de cargas uma ÚNICA VEZ! OK? Vou montar um esquema para você :-)

Olha para figura abaixo e tenta seguir a identificação das cargas e suas interações à direita!

Para você entender como funciona o esquema da figura à direita acima: você fixa uma carga, por exemplo q 1 = - q , da configuração, e faz o cálculo da energia de interação dessa carga com a carga q 2 = q e obtém a energia U 12 . Acompanhou?

Agora, essa energia é a mesma que aquela quando você fixa a carga q 2 = q e faz o cálculo da energia dela com a carga q 1 = - q , já que temos o seguinte:

U 12 = ( - q ) q 4 π ϵ 0 a = U 21 = q ( - q ) 4 π ϵ 0 a

Ou seja, só contamos a interação de 1 com 2, já que é a mesma que a de 2 com 1.

Portanto, repetindo esse esquema para todas as cargas, obtemos a energia eletrostática total do sistema, que é:

U T o t a l = U 12 + U 13 + U 14 + U 23 + U 24 + U 34

Utilizando a expressão para a energia potencial para cada um dos termos da equação acima (tomando cuidado com as distâncias entre as cargas!!), obtemos que

U T o t a l = - 2 q 2 4 π ϵ 0 a ≠ 0

Portanto, mostramos que a energia eletrostática associada a esta configuração é diferente de zero, que nega a afirmação dada no item ( I I I ) desta questão.

SUGESTÃO: Para uma distribuição discreta qualquer de cargas estáticas, procure seguir esse procedimento para o cálculo da energia eletrostática do sistema. Isso pode te ajudar a contabilizar todas as contribuições. Você vai ver que não tem erro fazendo assim...

Resposta

Portanto, a resposta correta é a letra a) .

Exercícios de Livros Relacionados

Uma placa não condutora infinita possui uma densidade superficial de cargas σ = + 5,80p C / m 2 . (a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q =
Uma esfera não condutora tem raio R = 2,31c m e uma carga uniformemente distribuída q = + 3,50f C . Tome o potencial elétrico no centro da esfera como V 0 = 0 . Determine o valor de V para uma distânc
A abaixo mostra um gráfico da componente x do campo elétrico em função de x em uma certa região do espaço. A escala do eixo vertical é definida por E X S = 20,0 N/C. As componentes y e z do campo elét
Duas placas paralelas condutoras de grande extensão estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas.
Energia do núcleo. Qual é a energia necessária para montar um nũcleo atômico contendo três prótons (tal como Be), se o modelarmos como um triângulo equilátero de lado 2 ⋅ 10 - 15 m . com próton em cad