Exercícios Resolvidos de Energia Potencial e Trabalho

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Enunciado

Um fio retilíneo, fino, muito longo, possui densidade linear de carga constante λ . Ao deslocarmos uma partícula de carga q 0 , desde um ponto a uma distância a até um outro ponto a uma distância b de tal fio, qual é o trabalho realizado pela força elétrica do fio sobre a partícula?

  1. q 0 λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ a b
  2. q 0 λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ b / a
  3. q 0 λ 2 π ϵ 0 a / b  
  4. q 0 λ 2 π ϵ 0 b / a
  5. q 0 λ 2 π ϵ 0 b - a a b

Passo 1

O trabalho é dado pela fórmula:

W = ∫ C F → ∙ d r →

Usando a fórmula de Coulomb:

F → = q 0 E →

W = q 0 ∫ C E → ∙ d r →

Passo 2

Agora precisamos descobrir o campo do fio. Usando a Lei de Gauss para múltiplas escolhas, temos: E A = Q i n t ϵ 0

Escolhendo uma Gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L por conta do formato do fio, onde a área A é só a lateral. Portanto:

2 π r L E = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π ϵ 0 r L

Passo 3

Calculamos a carga interna à Gaussiana pela densidade:

Q i n t L = λ

Q i n t = λ L

E → = λ L 2 π ϵ 0 r L r ^

E → = λ 2 π ϵ 0 r r ^

Passo 4

Calculando a integral do trabalho:

W = q 0 ∫ C E → ∙ d r →

W = q 0 ∫ C λ 2 π ϵ 0 r r ^ ∙ d r →

Num caminho radial:

W = q 0 ∫ C λ 2 π ϵ 0 r r ^ ∙ d r →

W = q 0 ∫ C λ 2 π ϵ 0 r r ^ ∙ d r   r ^

Temos que r ^ ∙ r ^ = 1 , logo:

W = q 0 ∫ C λ 2 π ϵ 0 r d r

O caminho é radial de a até b , conforme pede o enunciado:

W = q 0 λ 2 π ϵ 0 ∫ a b d r r

W = q 0 λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r a b

E finalmente:

W = q 0 λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ b a

Resposta

Letra b

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