Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

  1. Um arame fino é entortado no formato da curva das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e y = x , situado no primeiro octante e que liga o ponto A = 2 ,   2 , 0 ao ponto B = 1 ,   1 ,   2 . Calcule a massa do arame, sendo a densidade em cada ponto proporcional ao quadrado da distância do ponto ao plano y z .

Passo 1

Ouvi falar em Massa?! Cara! Massa de arame ou massa de curva, a essa altura do campeonato, é dada por:

M a s s a   d e   c u r v a = ∫ C δ x ,   y d s

Onde C é a curva que estamos trabalhando e δ x ,   y ,   z é a função de densidade da curva, saca?

A densidade dessa curva nos foi dito que é o quadrado da distância ao plano y z . À distância D de qualquer ponto a esse plano é dado por

D = x

Logo:

δ x ,   y ,   z = D 2 = x 2

e

M a s s a   d e   c u r v a = ∫ C x 2   d s

Mas como toda integral de linha, devemos seguir um passo a passo maroto:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Trocar os termos da função
  3. Encontrar o termo d s

Bora? :D

Passo 2

Devemos parametrizar a curva C , mas a pergunta mais ideal a fazer por enquanto é: quem é a C ?

Bem, como o próprio exercício já nos disse, o arame está a interseção da esfera de raio 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 aqui oh...

com o plano paralelo ao eixo z , y = x ...

Mais precisamente, o arame está no primeiro octante...

e unindo esses dois pontos A = 2 ,   2 , 0 e B = 1 ,   1 ,   2 ditos no enunciado. Logo, a curva que estamos trabalhando é...

Essa vermelhona aí, pegou?

Passo 3

Para parametriza-la vamos considerar que, como já mencionamos, a curva é a intercessão de duas superfícies no espaço. Então nada mais justo que realizar essa intercessão na matemática também, concorda?

Fazer isso é resolver o sistema com as duas equações:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 y = x         →

Substituindo a segunda na primeira...

x 2 + x 2 + z 2 = 4   �� →

2 x 2 + z 2 = 4

Essa equação representa uma elipse, quer ver só?!

Passando esse 4 dividindo...

x 2 2 + z 2 4 = 1       →

x 2 2 2 + z 2 2 2 = 1

Viu? Uma elipse centrada na origem. A parametrização de elipses centrada na origem com esse formato geral   x 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 sempre será:

x = a cos ⁡ t

z = b sin ⁡ t

Como no nosso caso a = 2 e b = 2 . Assim, uma parametrização é:

x = 2 cos ⁡ t

z = 2 sin ⁡ t

Como y = x ...

y = 2 cos ⁡ t

A parametrização bonitinha então é:

r t = 2 cos ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t

Passo 4

Lembre-se de que nunca terminamos uma parametrização sem antes dizer onde o parâmetro, no caso o t , está variando!

Repare que vamos descobrir onde o parâmetro está variando olhando para a restrição:

A curva varia do ponto A = 2 ,   2 , 0 até o ponto B = 1 ,   1 ,   2 !

De acordo com o ponto A , a coordenada x nesse ponto é 2 ... Mas

x = 2 cos ⁡ t         →                 2 = 2 cos ⁡ t       →

cos ⁡ t = 1         →

t = 0

De acordo com o ponto de chegada, o B , x = 1 ...

x = 2 cos ⁡ t         →                 1 = 2 cos ⁡ t       →

cos ⁡ t = 1 2 = 2 2         →

t = 45 ° = π 4

Então podemos afirmar que o t varia de 0 até 45 ° :

0 ≤ t ≤ π 4

Passo 5

Sendo assim, a nossa próxima função aqui é justamente mudar a função   δ x ,   y ,   z = x 2 para os termos dessa parametrização (basta trocar esse x , y e z aí)

δ x ,   y ,   z = x 2   →

δ r t = 2 cos ⁡ t 2   →

δ r t = 2 cos 2 ⁡ t

Passo 6

Devemos agora encontrar o termo d s fazendo

d s = r ' t d t

derivando a curva portanto...

r t = 2 cos ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t →       r ' t = - 2 sin ⁡ t ,   - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t

extraindo o módulo desse vetor derivada...

r ' t = - 2 sin ⁡ t 2 + - 2 sin ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 =

r ' t = 2   sin 2 ⁡ t + 2   sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t =

r ' ( t ) = 4 sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t =

r ' ( t ) = 4 = 2

portanto

d s = 2 d t

Passo 7

Agora basta que peguemos os três ingredientes anteriormente encontrados e substituirmos na integral...

M a s s a = ∫ C   δ x ,   y ,   z d s

O C será substituído pela variação do parâmetro:

∫ C   δ x ,   y ,   z d s = ∫ 0 π 4 2 cos 2 ⁡ t ⋅ 2 d t =

4 ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ t d t

Agora basta que calculemos esta integral simples que apareceu lembrando que cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 !

4 ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ t d t = 4 ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 d t =

4 1 2 θ + sin ⁡ 2 t 4 0 π 4 =

4 π 8 + sin ⁡ 2 π 4 4 - 0 + sin ⁡ 0 4 =

4 π 8 + 1 4 =

π 2 + 1

Resposta

π 2 + 1

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