Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule

∫ C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = y x + z e C é a curva interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9 , com y ≥ 0 e x + z = 3 .

Passo 1

Temos uma integral de linha escalar no R 3 , então não tem jeito, vamos jogar na fórmula:

∫ C f x , y , z d s = ∫ a b f x t , y t , z t σ → ' t d t

Então só vamos ter que achar a parametrização da curva, que é a interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x + z = 3 , vamos ver como que fica isso!

Passo 2

Pra acharmos a parametrização de uma curva que é interseção de duas superfícies, primeiro temos que achar a projeção da curva no plano x y e, pra isso, é só substituir o z em uma das equações. Aqui, o mais fácil é pegarmos esse:

x + z = 3 → z = 3 - x

E substituirmos aqui:

x 2 + y 2 + z 2 = 9 → x 2 + y 2 + 3 - x 2 = 9

⇒ x 2 + y 2 + 9 - 6 x + x 2 = 9

⇒ 2 x 2 - 6 x + y 2 = 0

⇒ x 2 - 3 x + y 2 2 = 0

Usando o método de completar quadrados, vamos ter:

x 2 - 3 x + 3 2 2 + y 2 2 = 3 2 2

⇒ x - 3 2 2 + y 2 2 = 9 4

Que é uma elipse bem esquisita, mas que dá pra parametrizar assim:

σ → t = 3 2 cos ⁡ t + 3 2 , 3 2 2 sen ⁡ t

E como tínhamos:

z = 3 - x → z = 3 - 3 2 cos ⁡ t + 3 2

⇒ z = 3 2 - 3 2 cos ⁡ t

Então, completamos a parametrização para termos:

C :   σ → t = 3 2 cos ⁡ t + 3 2 , 3 2 2 sen ⁡ t , 3 2 - 3 2 cos ⁡ t

Como ele diz que y ≥ 0 , então vamos ter que 0 ≤ t ≤ π .

Eita, eu sei que tá complicadão... Mas calma que são só valores estranhos, vamos nos manter confiantes que uma hora isso vai simplificar aí!

Passo 3

Agora temos que achar o módulo do vetor tangente:

σ → ' t = d x d t , d y d t , d z d t = - 3 2 sen ⁡ t , 3 2 2 cos ⁡ t , 3 2 sen ⁡ t

E tirando o módulo, vamos ter:

σ → ' t = - 3 2 sen ⁡ t 2 + 3 2 2 cos ⁡ t 2 + 3 2 sen ⁡ t 2

⇒ 9 4 sen 2 ⁡ t + 18 4 cos 2 ⁡ t + 9 4 sen 2 ⁡ t

⇒ 18 4 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 3 2 2  

Opa! Eu disse que uma hora isso ia simplificar! Acho que estamos no caminho certo, hein?

Passo 4

Agora já temos tudo que precisamos pra usar a fórmula, né?

Mas só pra não nos confundirmos na hora, vamos ver como que fica f x t , y t , z t :

f x , y , z = y x + z → 3 2 2 sen ⁡ t 3 2 cos ⁡ t + 3 2 + 3 2 - 3 2 cos ⁡ t

⇒ 3 2 2 sen ⁡ t 3 = 9 2 2 sen ⁡ t

O que também é bem simpático, agora vamos só jogar tudo lá:

∫ a b f x t , y t , z t σ → ' t d t = ∫ 0 π 9 2 2 sen ⁡ t 3 2 2 d t

⇒ 27 ∙ 2 4 - cos ⁡ t │ 0 π = 27 2 - - 1 - 1 = 27

Ahh, muito fácil, né? Brincadeira, eu sei que essa foi bem chata... Mas é só não se desesperar que uma hora vai, se seguirmos o passo-a-passo.

Resposta

27

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