Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 209

Calcule C   ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s , onde C é a hélice definida por σ t = ( cos t , sen t ,   t ) , 0 t 2 π .

Passo 1

Aqui temos uma integral de linha que é representada por

C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Nesse caso ele já nos deu a parametrização:

σ t = cos t , sen t ,   t ,   0 t 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como já temos a parametrização, podemos passar direto para o cálculo de σ '

Antes vamos obter as derivadas da parametrização:

d x d t = - sen t ,       d y d t = cos t ,       d z d t = 1

Agora, calculamos σ ' :

σ ' = - sen t 2 + cos t 2 + 1 = 2

Passo 3

Vamos obter agora a nossa função em termos de t

x 2 + y 2 + z 2 cos t 2 + sen t 2 + t 2 = 1 + t 2

a b 1 + t 2 2 d t =

Jogando tudo na integral, teremos

= 2 0 2 π 1 + t 2   d t =

Passo 4

Vamos, então, calcular a integral:

= 2 t + t 3 3 0 2 π =

Resposta

2 2 π + 8 π 3 3

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