Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule

∫ C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = x e C é a interseção do cilindro parabólico y = x 2 com a parte do plano z = x , tal que 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Integral de linha escalar no R 3 você já sabe, né, vamos pra fórmula:

∫ C f x , y , z d s = ∫ a b f x t , y t , z t σ → ' t d t

E aqui a função é bem tranquilinha, só vamos ver como que fica a curva, que é uma interseção de superfícies, que as vezes é meio chato de fazer... Mas vamos sem medo!

Passo 2

Começamos achando a projeção da curva no plano x y , mas como aqui uma das curvas é um cilindro, ja encontramos a projeção direto!

y = x 2

⇒ σ → t = t , t 2

Agora encontramos a coordenada z , mas esse aqui também é bem tranquilo, porque ele dá um plano:

z = x → z = t

⇒ C : σ → t = t , t 2 , t

E como ele diz que 0 ≤ x ≤ 1 , então vamos ter que o t vai ser assim também: 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 3

Agora vamos ter o módulo do vetor tangente:

σ → ' t = d x d t , d y d t , d z d t = 1,2 t , 1

E, se tirarmos o módulo, vamos ficar com:

σ → ' t = 1 2 + 2 t 2 + 1 2 = 4 t 2 + 2

Agora é só jogar tudo na fórmula!

Passo 4

Substituindo tudo, vamos chegar em:

∫ a b f x t , y t , z t σ → ' t d t = ∫ 0 1 t 4 t 2 + 2   d t

Que a gente resolve pela substituição:

u = 4 t 2 + 2

d u = 8 t   d t → d t = d u 8 t

Então:

∫ t 4 t 2 + 1   d t = ∫ u 8 d u = 1 8 2 3 u 3 2

⇒ 1 12 4 t 2 + 2 3 / 2

Aplicando os limites de integração, vamos fica com:

1 12 4 t 2 + 1 3 / 2 │ 0 1 = 1 12 4 1 2 + 2 3 2 - 4 0 2 + 2 3 2

⇒ 1 12 6 6 - 2 2 = 6 2 - 2 6

E foi, pronto!

Resposta

6 2 - 2 6

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