Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule ∫ γ   x y d s   onde γ é a parte da interseção do plano y = x com a superfície z = x 2 + y 2 , z ≤ 8 , de ponto inicial ( 0,0 , 0 ) e final ( 2,2 , 8 ) .

Passo 1

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Vamos usar as informações que o problema deu. Temos a interseção entre:

z = x 2 + y 2 , onde z ≤ 8

x = y

Vamos tentar escrever cada uma das coordenadas x , y e z em função de um único paramêtro, Vamos escolher o x como parâmetro, para ficar mais fácil! Repara que podemos escrever o seguinte:

x = x

y = x

z = x 2 + x 2 = 2 x 2

Logo, uma parametrização para a nossa curva seria

σ → = ( x , x , 2 x 2 )

Certo, agora precisamos do intervalo de x , né? Isso nós tiramos da informação que está faltando: ponto inicial ( 0,0 , 0 ) e final ( 2,2 , 8 ) , o que nos dá que 0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 2

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d x d x , d x d x , d 2 x 2 d x = ( 1,1 , 4 x )

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = 1 2 + 1 2 + 4 x 2 =

= 16 x 2 + 2

Passo 4

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de x , nosso parâmetro:

∫ γ   f   d s = ∫ a b f x x ,   y x , z ( x ) ⋅   | σ → ' |   d x

Com a parametrização σ → = ( x , x , 2 x 2 ) , a função que vamos integrar

f x , y , z = x y

Passa a ser

f x ( x ) , y ( x ) , z ( x ) = x

Então a integral fica

∫ γ   f   d s = ∫ 0 2 x 16 x 2 + 2   d x

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para x na parametrização!

Passo 5

Agora falta resolver a integral né? Vamos fazer a seguinte substituição:

16 x 2 + 2 = u         →             32 x d x = d u

x = 0           →             u = 2

x = 2           →             u = 66

Agora vamos analisar a integral com calma, temos:

= ∫ 0 2 16 x 2 + 2 ⏟ u   x d x ⏟ d u / 32 =

Fazendo a substituição, temos então:

= 1 32 ∫ 2 66 u   d u =

= 1 16.3 u 3 / 2 2 66 =

= 2 24 33 33 - 1

Resposta

2 24 33 33 - 1

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